Steckbriefaufgaben im Abitur: aus jedem Satz wird eine Gleichung

Bei einer Steckbriefaufgabe suchst du einen Funktionsterm, von dem nur Eigenschaften bekannt sind, und jede Eigenschaft liefert genau eine Gleichung. Wenn du mitzählst, wie viele Gleichungen du hast und wie viele Unbekannte, kann dir kaum etwas schiefgehen. Welche Aufgabentypen in der Analysis sonst vorkommen, ordnet die Übersicht zu den Mathe-Abi-Themen ein.

Woran du eine Steckbriefaufgabe erkennst

Der Aufgabentext beschreibt einen Graphen in Worten und verlangt am Ende den Term. Typische Formulierungen sind „Ermitteln Sie die Werte von a und b“ oder „Geben Sie einen Term an, sodass …“. In unserem Aufgabentyp-Register heißt das Funktionsterm aus Bedingungen bestimmen.

Meist steht der Ansatz schon da, etwa „eine ganzrationale Funktion dritten Grades“. Steht er nicht da, wählst du ihn selbst: Der Grad ergibt sich aus der Zahl der Bedingungen. Hast du vier Bedingungen, passt ein Polynom dritten Grades mit vier Koeffizienten.

Die Übersetzungstabelle: Satz in Bedingung

Der Kern jeder Steckbriefaufgabe ist das Übersetzen. Diese Tabelle zeigt die Formulierungen, die in Aufgaben am häufigsten vorkommen, und die Gleichung, die du dafür aufschreibst.

Wichtig ist die Doppelung bei Extrem- und Wendepunkten: Ein Punkt wie H(2 | 4) liefert zwei Gleichungen, nämlich f(2) = 4 und f'(2) = 0. Wer nur eine davon aufschreibt, steht später mit zu wenigen Gleichungen da.

Gleichungen zählen und Symmetrie nutzen

Bevor du rechnest, zählst du. Ein Polynom dritten Grades hat vier Koeffizienten (a, b, c, d), also brauchst du vier Gleichungen. Bei Grad vier sind es fünf. Stimmt die Zahl nicht, hast du eine Aussage im Text überlesen.

Symmetrie ist die Abkürzung. Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, lautet der Ansatz bei Grad vier f(x) = ax⁴ + bx² + c. Aus fünf Unbekannten werden drei. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung und Grad drei lautet der Ansatz f(x) = ax³ + cx, aus vier Unbekannten werden zwei. Die Symmetrie ist selbst eine Information des Textes, du sparst dir damit Rechenarbeit und Fehlerquellen.

Aufgabe 1: Halfpipe mit Symmetrie

Der Querschnitt einer Halfpipe wird durch eine Funktion f vierten Grades beschrieben, x und f(x) in Metern. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, der tiefste Punkt liegt im Ursprung. Am rechten Rand bei x = 4 ist die Halfpipe 3 Meter hoch, und dort hat sie die Steigung 1.

a) Bestimme den Funktionsterm.

b) Berechne die Höhe bei x = 2.

Rechne zuerst selbst, dann vergleichst du mit dem Lösungsweg.

Lösung a): Wegen der Achsensymmetrie ist der Ansatz f(x) = ax⁴ + bx² + c mit f'(x) = 4ax³ + 2bx. Daraus ergeben sich drei Gleichungen:

1. Tiefpunkt im Ursprung: f(0) = 0, also c = 0.
2. Höhe am Rand: f(4) = 3, also 256a + 16b = 3.
3. Steigung am Rand: f'(4) = 1, also 256a + 8b = 1.

Zieht man die dritte von der zweiten Gleichung ab, bleibt 8b = 2 und damit b = 1/4. Dann gilt 256a = 1 − 2 = −1, also a = −1/256. Der Term lautet f(x) = −x⁴/256 + x²/4. Die Probe: f(4) = −1 + 4 = 3 und f'(4) = −1 + 2 = 1. Beide Bedingungen stimmen.

Lösung b): Es ist f(2) = −16/256 + 4/4 = 15/16. Antwortsatz: Bei x = 2 Metern ist die Halfpipe 0,94 Meter hoch.

Wo die Punkte liegen: In a) zählt, dass du die Bedingung „tiefster Punkt im Ursprung“ nur einmal verwendest. Die waagrechte Tangente bei x = 0 steckt schon im Ansatz mit geraden Exponenten, du schreibst sie nicht noch einmal auf.

Aufgabe 2: Hügelkuppe ohne Rechner

Ein Parcours-Designer modelliert eine Hügelkuppe durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die Kuppe liegt im Punkt H(2 | 4). Rechne ohne Hilfsmittel.

a) Bestimme den Funktionsterm.

b) Zeige, dass der Graph bei x = −2 einen Tiefpunkt hat.

Lösung a): Punktsymmetrie bei Grad drei bedeutet f(x) = ax³ + cx und f'(x) = 3ax² + c. Der Hochpunkt H(2 | 4) liefert zwei Gleichungen:

1. Waagrechte Tangente: f'(2) = 0, also 12a + c = 0 und damit c = −12a.
2. Funktionswert: f(2) = 4, also 8a + 2c = 4.

Setzt du c = −12a in die zweite Gleichung ein, erhältst du 8a − 24a = 4, also a = −1/4 und c = 3. Der Term lautet f(x) = −x³/4 + 3x. Die Probe: f(2) = −2 + 6 = 4 und f'(2) = −3 + 3 = 0.

Lösung b): Wegen f'(x) = −3x²/4 + 3 gilt f'(−2) = −3 + 3 = 0. Mit f''(x) = −3x/2 folgt f''(−2) = 3, und das ist größer als 0. Also liegt bei x = −2 ein Tiefpunkt mit f(−2) = 2 − 6 = −4. Das passt zur Punktsymmetrie: Der Hochpunkt (2 | 4) wird zum Tiefpunkt (−2 | −4).

Wo die Punkte liegen: In b) genügt der Verweis auf die Symmetrie als Begründung nicht, wenn die Aufgabe „Zeige“ verlangt. Rechne f' und f'' nach, die Symmetrie dient dir nur als Kontrolle. Wie die Verben in der Aufgabe zu lesen sind, erklärt der Artikel zu den Operatoren im Mathe-Abi.

Wie du das Gleichungssystem sicher löst

Fang mit den einfachsten Gleichungen an. Ein Funktionswert an der Stelle 0 liefert sofort einen Koeffizienten, ebenso eine Symmetrie, die Terme streicht. Das ist der Rat aus dem Register: Rand- und Grenzbedingungen zuerst auswerten, sie sind meist die einfachsten.

Danach reicht fast immer das Einsetzungs- oder Subtraktionsverfahren, wie in beiden Aufgaben oben. Im hilfsmittelfreien Teil rechnest du mit Brüchen statt mit Dezimalzahlen, damit nichts gerundet wird. Welche Rechnungen dort sonst auf dich warten, zeigt der Artikel zum Mathe-Abi ohne Taschenrechner.

Häufige Fragen

Was tue ich, wenn ich mehr Gleichungen als Unbekannte habe? Dann prüfst du, ob alle Gleichungen zu derselben Lösung passen. Passt eine nicht, steckt ein Rechen- oder Übersetzungsfehler in deinem System. Manchmal ist die Aufgabe auch genau darauf angelegt: Du sollst zeigen, dass eine zusätzliche Eigenschaft von selbst erfüllt ist.

Was tue ich, wenn ich weniger Gleichungen als Unbekannte habe? Dann bleibt ein Parameter stehen, und die Aufgabe verlangt oft nur „einen“ Term. Wähle für den freien Parameter einen passenden Wert, und halte ihn im Antwortsatz fest.

Muss ich immer eine Probe schreiben? Nicht als Pflicht für die Bewertung, aber als Absicherung. Setze alle Bedingungen noch einmal in den fertigen Term ein und prüfe zusätzlich, ob das Ergebnis zum Sachkontext passt, etwa ob eine Höhe positiv ist.

Dein nächster Schritt

Suche dir in deinem Aufgabenheft eine Steckbriefaufgabe und schreibe vor dem Rechnen nur die Bedingungen auf, nummeriert, mit der Zahl der Unbekannten daneben. Erst danach löst du das System. Weitere Aufgaben im Abi-Stil findest du im Artikel mit den Analysis-Aufgaben samt Lösungsweg, dort steht auch ein Steckbrief mit waagrechten Anschlüssen.

Wie du die Wochen bis zur Prüfung aufteilst, zeigt der Abi-Lernplan. Wenn dir das Aufstellen von Gleichungssystemen grundsätzlich schwerfällt, hilft gezielte Mathe-Nachhilfe weiter, online oder im Ostalbkreis, mehr dazu bei unseren Nachhilfeangeboten.