Mathe-Abitur Analysis: Aufgaben mit Lösungen zu Zuflussrate, Steckbrief und Fläche

Eine Lösung durchzulesen fühlt sich wie Lernen an, ist aber keins. Du nickst bei jedem Schritt und weißt trotzdem nicht, ob du ihn selbst gefunden hättest. Deshalb stehen hier drei Analysis-Aufgaben, die du zuerst allein rechnest und deren Lösungsweg du erst danach aufschlägst.

Alle drei Aufgaben sind eigene Aufgaben mit eigenem Sachkontext, die wir im Stil des Abiturs gebaut haben. Es sind keine amtlichen Prüfungsaufgaben, und zu amtlichen Aufgaben veröffentlichen wir keine Lösungen. Welche Aufgabentypen in Analysis überhaupt vorkommen, erklärt der Artikel zu den Analysis-Abituraufgaben, den Gesamtüberblick über alle Sachgebiete gibt der Überblick zu den Mathe-Abi-Themen.

Warum du erst rechnest und dann die Lösung liest

Du lernst aus einer Aufgabe nur dann etwas, wenn du vor der Lösung eine eigene Antwort hattest. Stimmt sie, hast du den Weg bestätigt. Stimmt sie nicht, siehst du an der Abweichung genau, wo dein Denkfehler sitzt.

Gib jeder Aufgabe deshalb eine feste Zeit. Aufgabe 1 und 2 bearbeitest du mit Taschenrechner, wie im Prüfungsteil mit Hilfsmitteln, dafür reichen etwa 15 Minuten je Aufgabe. Aufgabe 3 rechnest du ohne Hilfsmittel, wie im hilfsmittelfreien Teil des Mathe-Abis, und gibst dir dafür etwa 10 Minuten. Das sind Richtwerte aus unserem Trainingsplan, keine amtlichen Vorgaben.

Aufgabe 1: Zuflussrate im Sachkontext

Ein Regenrückhaltebecken wird acht Stunden lang befüllt. Die Zuflussrate in Kubikmetern pro Stunde beschreibt die Funktion r(t) = -0,5t^2 + 4t mit t in Stunden, 0 <= t <= 8. Zu Beginn (t = 0) befinden sich 10 Kubikmeter Wasser im Becken.

a) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Zuflussrate am größten ist, und gib die größte Zuflussrate an.

b) Berechne, wie viel Wasser in den ersten vier Stunden zufließt, und gib an, wie viel Wasser nach vier Stunden im Becken ist.

c) Berechne die mittlere Zuflussrate über alle acht Stunden.

Lösung a): Die größte Zuflussrate liegt an einer Stelle mit waagerechter Tangente. Die Ableitung ist r'(t) = -t + 4. Aus r'(t) = 0 folgt t = 4. Wegen r''(t) = -1 < 0 ist das ein Hochpunkt. Der Funktionswert ist r(4) = -0,5 * 16 + 16 = 8. Die Ränder prüfst du auch: r(0) = 0 und r(8) = -32 + 32 = 0. Antwortsatz: Nach vier Stunden fließt mit 8 Kubikmetern pro Stunde am meisten zu.

Lösung b): Die zugeflossene Menge ist das Integral der Zuflussrate. Eine Stammfunktion ist R(t) = -t^3/6 + 2t^2. Damit gilt: Integral von 0 bis 4 über r(t) dt = R(4) - R(0) = -64/6 + 32 = 64/3, das sind etwa 21,3 Kubikmeter. Der Anfangsbestand von 10 Kubikmetern kommt dazu: 10 + 64/3 = 94/3, etwa 31,3 Kubikmeter. Antwortsatz: In den ersten vier Stunden fließen etwa 21,3 Kubikmeter zu, danach sind es insgesamt etwa 31,3 Kubikmeter im Becken.

Lösung c): Die mittlere Rate ist das Integral geteilt durch die Länge des Intervalls. Es gilt R(8) = -512/6 + 128 = 128/3, also etwa 42,7 Kubikmeter in acht Stunden. Geteilt durch 8 Stunden ergibt das 16/3, etwa 5,3 Kubikmeter pro Stunde. Antwortsatz: Im Mittel fließen etwa 5,3 Kubikmeter pro Stunde zu, deutlich weniger als die Spitze von 8.

Wo die Punkte liegen: In b) holt der Antwortsatz mit der Einheit einen Teil der Punkte, und der Anfangsbestand ist die Stelle, die am häufigsten vergessen wird. Wenn du ein Integral über eine Rate siehst, ist das Ergebnis eine Menge, keine Rate. Mehr zu diesem Aufgabenmuster steht im Artikel zur Integralrechnung im Abitur.

Aufgabe 2: Steckbrief einer Übergangskurve

Ein Radweg soll auf einer Länge von 4 Metern (in x-Richtung) eine Höhendifferenz von 2 Metern überwinden, und zwar ohne Knick: Am Anfang und am Ende soll der Weg waagerecht verlaufen. Das Profil wird durch eine Funktion dritten Grades f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d beschrieben. Der Anfang liegt im Ursprung, das Ende im Punkt (4 | 2).

a) Stelle die Bedingungen für a, b, c und d auf und bestimme die Funktionsgleichung.

b) Bestimme die Stelle der größten Steigung und gib diese Steigung an.

Lösung a): Aus den Beschreibungen ergeben sich vier Bedingungen:

1. Anfang im Ursprung: f(0) = 0, also d = 0.
2. Waagerecht am Anfang: f'(0) = 0, also c = 0.
3. Ende im Punkt (4 | 2): f(4) = 2, also 64a + 16b = 2.
4. Waagerecht am Ende: f'(4) = 0. Mit f'(x) = 3ax^2 + 2bx ist das 48a + 8b = 0, also b = -6a.

Einsetzen von b = -6a in die dritte Bedingung ergibt 64a - 96a = 2, also -32a = 2 und damit a = -1/16. Dann ist b = 6/16 = 3/8. Die Funktion lautet f(x) = -x^3/16 + 3x^2/8. Die Probe: f(4) = -4 + 6 = 2, und f'(4) = -3 + 3 = 0. Beide Bedingungen stimmen.

Lösung b): Die Steigung ist f'(x) = -3x^2/16 + 3x/4. Ihre größte Stelle liegt dort, wo f''(x) = 0 ist, also bei einem Wendepunkt der Funktion. Aus f''(x) = -3x/8 + 3/4 = 0 folgt x = 2. Dort ist f'(2) = -12/16 + 6/4 = 3/4. Der Wendepunkt liegt bei (2 | 1). Antwortsatz: Der Weg ist in der Mitte bei x = 2 Metern am steilsten, mit einer Steigung von 0,75. Das sind 75 Prozent.

Wo die Punkte liegen: Beim Steckbrief zählt die Übersetzung von Text in Gleichungen. Schreib die Bedingungen einzeln auf und nummeriere sie. Die Probe am Ende dauert eine halbe Minute und entdeckt Vorzeichenfehler, die sonst die ganze Aufgabe kosten. Für ein Gefühl, welche Verben welche Rechnung auslösen, hilft der Artikel zu den Operatoren im Mathe-Abi.

Aufgabe 3: Nullstellen, Extrema und Fläche ohne Rechner

Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3/3 - 2x^2 + 3x. Rechne ohne Hilfsmittel.

a) Bestimme die Nullstellen von f.

b) Bestimme die Extrempunkte von f.

c) Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse zwischen x = 0 und x = 3 einschließt.

Lösung a): Klammere zuerst x/3 aus: f(x) = (x/3)(x^2 - 6x + 9) = (x/3)(x - 3)^2. Das Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Die Nullstellen sind x = 0 und x = 3, wobei x = 3 eine doppelte Nullstelle ist.

Lösung b): Die Ableitung ist f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Sie hat die Nullstellen x = 1 und x = 3. Das Vorzeichen von f' ist für x < 1 positiv, zwischen 1 und 3 negativ und für x > 3 wieder positiv. Bei x = 1 wechselt es von plus nach minus, das ist ein Hochpunkt mit f(1) = 1/3 - 2 + 3 = 4/3. Bei x = 3 wechselt es von minus nach plus, das ist ein Tiefpunkt mit f(3) = 9 - 18 + 9 = 0. Antwortsatz: Hochpunkt (1 | 4/3), Tiefpunkt (3 | 0). Der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse, passend zur doppelten Nullstelle.

Lösung c): Im Intervall von 0 bis 3 gilt f(x) = (x/3)(x - 3)^2 >= 0, der Graph liegt also über der x-Achse und du kannst direkt integrieren. Eine Stammfunktion ist F(x) = x^4/12 - 2x^3/3 + 3x^2/2. Damit ist F(3) = 81/12 - 18 + 27/2 = 27/4 - 18 + 27/2 = 9/4 und F(0) = 0. Antwortsatz: Die Fläche hat den Inhalt 9/4, also 2,25 Flächeneinheiten.

Wo die Punkte liegen: In c) steckt die Vorsicht vor Vorzeichen. Hätte der Graph im Intervall die x-Achse gekreuzt, müsstest du an der Nullstelle teilen. Aus a) siehst du, dass das hier nicht passiert, weil die zweite Nullstelle nur berührt.

So arbeitest du mit den Aufgaben

Rechne jede Aufgabe einmal vollständig mit Antwortsatz, bevor du die Lösung öffnest. Vergleiche dann nicht nur das Ergebnis, sondern den Weg, und markiere die Stelle, an der du abgewichen bist. Nach einer Woche rechnest du dieselbe Aufgabe noch einmal, ohne in die Lösung zu schauen.

Führe dazu eine kurze Fehlerliste. Schreib je Fehler einen Satz auf, zum Beispiel “Anfangsbestand vergessen“ oder “Probe nicht gemacht“. Nach drei Aufgaben erkennst du, welcher Fehlertyp bei dir am häufigsten auftritt. Mit dem Fehler fängst du an, nicht mit dem Stoff. Wie du die Wochen bis zur Prüfung insgesamt aufteilst, zeigt der Abi-Lernplan.

Nächste Schritte

Nimm dir heute Aufgabe 1 vor, mit Uhr und Taschenrechner, und schreib den Antwortsatz mit Einheit. Morgen folgt Aufgabe 2 und danach Aufgabe 3 ohne Rechner.

Wenn du dabei merkst, dass dir bei Steckbriefen oder Integralen das Fundament fehlt, kann gezielte Unterstützung helfen. Einen Überblick über unsere Mathe-Nachhilfe online und im Ostalbkreis findest du bei unseren Nachhilfeangeboten.