Mathe Grundkurs Abitur Aufgaben: welche Typen dran sind und drei eigene zum Üben

Im Grundkurs-Abi bekommst du nicht einfach leichtere Aufgaben, sondern andere Schwerpunkte: Auf grundlegendem Niveau liegt das Gewicht auf den Anforderungsbereichen I und II, also auf sicherem Anwenden und Verknüpfen, weniger auf freiem Begründen und Beurteilen. Wer das weiß, trainiert gezielter. Dieser Artikel zeigt dir, wie die Prüfung auf grundlegendem Niveau aufgebaut ist, welche Aufgabentypen darin immer wieder vorkommen und wie du drei eigene Aufgaben dazu rechnest.

Welche Themen auf welchem Niveau drankommen, ordnet der Überblick zu den Mathe-Abi-Themen ein. Was Grundkurs, Basisfach und gA je nach Land bedeuten, steht im Artikel zum Mathe-Abi im Grundkurs. Hier geht es um die Aufgaben selbst.

So ist die Prüfung auf grundlegendem Niveau aufgebaut

Die schriftliche Mathe-Prüfung auf grundlegendem Niveau (gA) umfasst nach der KMK-Struktur 80 Bewertungseinheiten (BE). Davon entfallen 25 BE auf den Prüfungsteil A ohne Hilfsmittel. Im Teil B mit Hilfsmitteln sind es 25 BE Analysis, 15 BE Stochastik und 15 BE Analytische Geometrie oder Lineare Algebra. Die Arbeitszeit beträgt 255 Minuten einschließlich Auswahlzeit, Teil A gibst du innerhalb der ersten 100 Minuten ab. Die Struktur steht in der Beschreibung der Struktur der Aufgaben des IQB.

Teil	Sachgebiet	BE auf gA
Teil A (ohne Hilfsmittel)	alle drei Sachgebiete	25
Teil B (mit Hilfsmitteln)	Analysis	25
Teil B (mit Hilfsmitteln)	Stochastik	15
Teil B (mit Hilfsmitteln)	Analytische Geometrie / Lineare Algebra	15
Summe		80

Im Teil B entfallen 25 von 55 Punkten auf Analysis, also fast die Hälfte. Planst du deine Übungszeit nach Punkten, kommt die Analysis zuerst, dann Stochastik und Geometrie zu gleichen Teilen. Einzelne Länder weichen in Details ab. In Nordrhein-Westfalen zum Beispiel sind es im Grundkurs ebenfalls 80 Punkte mit 25 im Teil A, geregelt in den organisatorischen Vorgaben. Dein Land und dein Prüfungsformat prüfst du im Erlass.

Zum Niveau: Die Aufgaben auf gA akzentuieren die Anforderungsbereiche I und II, auf erhöhtem Niveau liegt der Akzent auf II und III. Der Schwerpunkt liegt in beiden Fällen auf Bereich II. Das heißt für dich: Reproduzieren und Anwenden reichen für viele Punkte, aber ohne das Verknüpfen von zwei Schritten kommst du nicht in die oberen Notenbereiche.

Die Aufgabentypen, die du erkennen musst

In unserem Aufgabentyp-Register für das Mathe-Abi tauchen auf gA vor allem Typen auf, die ein bis zwei saubere Schritte verlangen. Die Auswahl hier ist unsere, keine amtliche Klassifikation. Prüfe immer, ob ein Thema in deinem Lehrplan auf deinem Niveau Pflicht ist, bevor du es übst.

Typ	So erkennst du ihn	So gehst du ran
Nullstellen berechnen	“Berechnen Sie die Nullstellen“, “Schnittpunkt mit der y-Achse“	Produkt gleich null setzen, Faktoren einzeln betrachten, für die y-Achse x = 0 einsetzen
Extrempunkte	“Hochpunkt“, “waagerechte Tangente“, “größter Funktionswert“	f'(x) = 0 lösen, Vorzeichenwechsel prüfen, dann erst in f einsetzen
Integral berechnen und deuten	Integralzeichen mit Grenzen, “im Sachzusammenhang“	Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, Ergebnis als Gesamtänderung mit Einheit deuten
Binomialverteilung	n gleiche Versuche, feste Wahrscheinlichkeit, “genau“, “höchstens“, “mindestens“	n und p zuerst benennen, “mindestens“ über das Gegenereignis
Erwartungswert	“im Mittel“, “Erwartungswert“	bei der Binomialverteilung n mal p
Schnittpunkt Gerade und Ebene	“Schnittpunkt“, “trifft“, “Auftreffpunkt“	Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzen, Parameter bestimmen, Punkt angeben

Der gemeinsame Nenner: Du liest die Aufgabe zuerst auf Signalwörter und Operatoren ab, bevor du rechnest. “Berechnen“ verlangt ein Ergebnis mit Rechnung, “zeigen“ einen lückenlosen Beleg. Die amtlichen Definitionen stehen im Grundstock von Operatoren. Eine Übersicht über alle Typen findest du im Artikel zu den Aufgabentypen im Mathe-Abi.

Drei eigene Aufgaben im Grundkurs-Stil

Die drei Aufgaben sind eigene Aufgaben mit eigenem Sachkontext im Stil des Abiturs. Es sind keine amtlichen Prüfungsaufgaben, und zu amtlichen Aufgaben veröffentlichen wir keine Lösungen. Rechne jede Aufgabe zuerst allein, mit einem Richtwert von etwa 15 Minuten, und lies danach den Lösungsweg. Der Richtwert gehört zu unserem Trainingsplan und ist keine amtliche Vorgabe.

Aufgabe 1: Analysis, Kurve untersuchen

Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2.

a) Bestimme die Nullstellen von f.

b) Bestimme die Extrempunkte von f.

c) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1.

d) Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse zwischen x = 0 und x = 3 einschließt.

Lösung a): Klammere x^2 aus: f(x) = x^2 (x - 3). Das Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Die Nullstellen sind x = 0 (doppelt) und x = 3.

Lösung b): Die Ableitung ist f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x (x - 2). Aus f'(x) = 0 folgt x = 0 oder x = 2. Die zweite Ableitung ist f''(x) = 6x - 6. Wegen f''(0) = -6 < 0 liegt bei x = 0 ein Hochpunkt mit f(0) = 0. Wegen f''(2) = 6 > 0 liegt bei x = 2 ein Tiefpunkt mit f(2) = 8 - 12 = -4. Antwortsatz: Hochpunkt (0 | 0), Tiefpunkt (2 | -4).

Lösung c): Es gilt f(1) = 1 - 3 = -2 und f'(1) = 3 - 6 = -3. Die Tangente hat also die Form y = -3(x - 1) - 2 = -3x + 1.

Lösung d): Zwischen 0 und 3 gilt f(x) = x^2 (x - 3) <= 0, der Graph liegt unter der x-Achse. Eine Stammfunktion ist F(x) = x^4/4 - x^3. Es ist F(3) = 81/4 - 27 = -27/4 und F(0) = 0. Das Integral ist also -27/4. Weil der Graph unterhalb liegt, ist der Flächeninhalt der Betrag: 27/4, also 6,75 Flächeneinheiten.

Wo die Punkte liegen: In b) holst du die meisten Punkte mit dem sauberen Nachweis der Art des Extrempunkts, nicht mit der Nullstelle der Ableitung allein. In d) kostet ein vergessenes Vorzeichen den Punkt für den Flächeninhalt.

Aufgabe 2: Stochastik, Binomialverteilung

Am Schulkiosk kaufen erfahrungsgemäß 30 % der Kunden in der großen Pause eine Brezel. In einer Pause kommen 12 Kunden. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Kunden mit Brezel. Du darfst annehmen, dass X binomialverteilt ist.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Kunden eine Brezel kaufen.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kunde eine Brezel kauft.

c) Bestimme den Erwartungswert von X und deute ihn.

Lösung a): Es gilt n = 12 und p = 0,3. Dann ist P(X = 3) = 220 mal 0,3^3 mal 0,7^9, also etwa 0,2397. Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 24 % kaufen genau 3 Kunden eine Brezel.

Lösung b): “Mindestens ein“ rechnest du über das Gegenereignis: P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,7^12, also etwa 1 - 0,0138 = 0,9862. Antwortsatz: Mit etwa 98,6 % kauft mindestens ein Kunde eine Brezel.

Lösung c): Der Erwartungswert ist n mal p = 12 mal 0,3 = 3,6. Antwortsatz: Bei vielen Pausen mit je 12 Kunden kaufen im Mittel 3,6 Kunden pro Pause eine Brezel.

Wo die Punkte liegen: Schreibe n und p zuerst auf. Dieser Schritt kostet drei Sekunden und verhindert, dass du bei den Zahlen durcheinanderkommst. Die Deutung in c) gehört zur Aufgabe: Der Erwartungswert ist kein Wert, der in jeder Pause eintritt.

Aufgabe 3: Geometrie, Gerade im Raum

Eine Kabelbahn verläuft geradlinig von A(1 | 2 | 0) nach B(3 | 6 | 4).

a) Gib eine Gleichung der Geraden g durch A und B an.

b) Prüfe, ob der Punkt C(5 | 10 | 8) auf g liegt.

c) Berechne die Länge der Strecke AB.

d) Bestimme den Punkt, in dem g die x1-x3-Ebene schneidet.

Lösung a): Der Richtungsvektor ist AB = (2 | 4 | 4). Damit ist g: X = (1 | 2 | 0) + t mal (2 | 4 | 4).

Lösung b): Setze C ein: 1 + 2t = 5 ergibt t = 2. Dann ist 2 + 4t = 10 und 4t = 8. Alle drei Gleichungen sind für t = 2 erfüllt, C liegt auf g.

Lösung c): Die Länge ist der Betrag des Vektors: Wurzel(2^2 + 4^2 + 4^2) = Wurzel(36) = 6. Antwortsatz: Die Strecke AB ist 6 Längeneinheiten lang.

Lösung d): Die x1-x3-Ebene besteht aus allen Punkten mit x2 = 0. Aus 2 + 4t = 0 folgt t = -1/2. Eingesetzt ergibt das den Punkt (1 - 1 | 0 | -2) = (0 | 0 | -2). Antwortsatz: Die Gerade schneidet die x1-x3-Ebene im Punkt (0 | 0 | -2).

Wo die Punkte liegen: In b) musst du alle drei Koordinaten prüfen. Wer nur zwei kontrolliert, hat nichts gezeigt. Ob Geraden und Ebenen auf grundlegendem Niveau in deinem Land Pflicht sind, entscheidet dein Lehrplan.

So übst du mit Grundkurs-Aufgaben

Rechne eine Aufgabe nie nur durch, sondern lege vorher eine Zeit fest. Der hilfsmittelfreie Teil A verlangt, dass du Grundrechnungen ohne Rechner sicher beherrschst. Wie du ihn gezielt trainierst, steht im Artikel zum hilfsmittelfreien Teil im Mathe-Abi.

Führe eine Fehlerliste, in die du je Fehler einen Satz schreibst, zum Beispiel “Vorzeichen bei der Fläche vergessen“ oder “n und p nicht aufgeschrieben“. Nach fünf Aufgaben siehst du, welcher Fehlertyp bei dir am häufigsten vorkommt. Mit diesem Fehler fängst du an, nicht mit dem nächsten Thema. Wie du das über die Wochen vor der Prüfung verteilst, zeigt der Abi-Lernplan.

Häufige Fragen

Sind die Aufgaben im Grundkurs-Abi leichter? Sie sind anders gewichtet. Auf gA liegt der Akzent auf den Anforderungsbereichen I und II, auf erhöhtem Niveau auf II und III. Beim Stoffumfang unterscheiden sich die Länder, deshalb zählt dein Lehrplan.

Darf ich Aufgaben aus früheren Prüfungen üben? Ja, die amtlichen Aufgaben und Pools findest du bei den Ländern und beim IQB. Dort bekommst du die Originalquelle. Wie du mit ihnen übst, ohne in die Lösungsfalle zu geraten, erklärt der Artikel zu Prüfungsaufgaben im Mathe-Abi.

Was du jetzt tun kannst

Nimm dir heute Aufgabe 1 vor, mit Uhr und Antwortsätzen. Morgen folgt Aufgabe 2, übermorgen Aufgabe 3. Schreibe jeden Fehler in deine Liste.

Wenn dir bei einem der Typen das Fundament fehlt, unterstützt dich auch unsere Mathe-Nachhilfe online und im Ostalbkreis. Einen Überblick findest du bei den Nachhilfeangeboten von C&C.