Mathe-Abitur Prüfungsaufgaben: so arbeitest du eine ganze Prüfung unter Echtbedingungen durch

Prüfungsaufgaben zu lösen ist nicht dasselbe wie für die Prüfung zu üben. Wer eine Aufgabe nach der anderen löst, wann es gerade passt, lernt vor allem die einzelne Aufgabe. Die Klausur verlangt etwas anderes: dass du in der vorgegebenen Zeit entscheidest, womit du anfängst, was du stehen lässt und wann du abgibst. Das trainierst du nur, wenn du eine komplette Prüfung am Stück bearbeitest.

Diese Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du bekommst einen Überblick, wie eine Mathe-Abiturklausur aufgebaut ist, ein Vier-Durchgänge-Protokoll für deine Probeprüfung und eine Methode, die Fehler danach nach Aufgabentyp zu sortieren. Dazu rechnest du zwei eigene Aufgaben mit komplettem Lösungsweg. Die Aufgaben haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen. Amtliche Aufgaben und Lösungen dazu drucken wir nicht ab.

Wie eine Mathe-Abiturklausur aufgebaut ist

Die Arbeitszeit in Mathematik beträgt nach der KMK-Vereinbarung 300 Minuten auf erhöhtem und 255 Minuten auf grundlegendem Anforderungsniveau, jeweils einschließlich der Zeit, in der du Aufgaben auswählst. Innerhalb dieses Rahmens legen die Länder den Aufbau selbst fest, und er unterscheidet sich im Detail. Welches Niveau du schreibst, weißt du aus deinem Kurs: Leistungskurs und Grundkurs, erhöhtes und grundlegendes Niveau, Leistungsfach und Basisfach.

Zwei Bausteine kommen in vielen Ländern vor:

• Teil A ist hilfsmittelfrei. Du rechnest ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung, nur mit deinem Wissen.
• Teil B erlaubt die zugelassenen Hilfsmittel und enthält die längeren Aufgaben aus Analysis, Geometrie und Stochastik.

Wie das konkret aussieht, zeigen drei Beispiele. In Niedersachsen und Rheinland-Pfalz musst du Teil A spätestens nach 110 Minuten abgeben, wenn du im erhöhten Niveau schreibst, und nach 100 Minuten im grundlegenden Niveau. In Thüringen besteht Teil A aus vier Pflichtaufgaben und zwei Wahlaufgaben aus sechs, Teil B aus je einer Pflichtaufgabe in Analysis, Geometrie und Stochastik. In Bayern legt der Fachausschuss für jedes der drei Sachgebiete aus zwei vorgelegten Aufgaben je eine für den Kurs fest. Für dich heißt das: Schau in die Prüfungsordnung deines Landes oder frag deine Lehrkraft, bevor du eine Probeprüfung planst. Die Zeitgrenze für Teil A bestimmt deine Planung.

Woher die Aufgaben kommen, hängt vom Land ab. Viele Länder entnehmen einen Teil der Aufgaben dem gemeinsamen Abituraufgabenpool der Länder beim IQB. Bayern stellt illustrierende Prüfungsaufgaben beim ISB bereit. Wo du Aufgaben samt Bewertungshinweisen findest und wie du sie sinnvoll nutzt, steht in unserem Artikel Abituraufgaben Mathe mit Lösungen.

So arbeitest du eine Prüfung in vier Durchgängen durch

Nimm dir eine Aufgabengruppe aus der Pool- oder Landessammlung, die dein Kurs noch nicht bearbeitet hat. Stell einen Timer auf die Prüfungszeit deines Niveaus. Dieses Protokoll ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.

1. Überblick (5 bis 10 Minuten). Lies alle Aufgaben durch und notiere neben jede den Aufgabentyp und eine Schätzung: leicht, mittel, schwer. Damit entscheidest du schon, womit du anfängst.
2. Sichere Punkte zuerst. Bearbeite zuerst alles, bei dem du den Ansatz sofort siehst. Steht da eine Teilaufgabe, die du nicht sofort kannst, setzt du ein Zeichen daneben und gehst weiter.
3. Zurück zu den offenen Teilen. Jetzt nimmst du dir die markierten Stellen vor. Schreibe auch angefangene Ansätze auf, denn für Teilschritte gibt es in der Bewertung Punkte, auch wenn das Endergebnis nicht stimmt.
4. Kontrolle (letzte 10 bis 15 Minuten). Gehe jede Aufgabe auf Antwortsätze, Einheiten und fehlende Begründungen durch. Bei Operatoren wie “begründen“ oder “beurteilen“ muss ein ausformulierter Satz dastehen. Was die Operatoren verlangen, beschreibt das IQB im Grundstock von Operatoren Mathematik. Mehr dazu in unserem Artikel zu den Operatoren im Mathe-Abi.

Teil A übst du zusätzlich getrennt und mit der Uhr: Stell den Timer auf die Abgabezeit, die in deinem Land gilt, und rechne ohne Hilfsmittel. Wer Teil A erst in der Prüfung ohne Taschenrechner erlebt, verliert Zeit mit Rechnungen, die er sonst im Kopf macht.

Die Fehlerliste: Auswerten nach Aufgabentyp

Nach der Probeprüfung korrigierst du mit dem Erwartungshorizont, den die Aufgabensammlung mitliefert, oder gemeinsam mit deiner Lehrkraft. Dann führst du eine Tabelle mit drei Spalten.

Aufgabe und Teil	Aufgabentyp	Fehlerart
1c	Extrempunkte, Randwerte	Randwert vergessen
2b	Wahrscheinlichkeit berechnen	Falsche Bernoulli-Kette angesetzt
3a	Ebene aufstellen	Rechenfehler im Kreuzprodukt

Die Spalte Fehlerart trennt vier Dinge: Hast du den Typ nicht erkannt, den Ansatz nicht gekannt, dich verrechnet oder die Antwort nicht ausformuliert? Je nach Fehlerart ist die Übung eine andere. Typ nicht erkannt heißt Signalwörter trainieren. Ansatz unbekannt heißt Thema nacharbeiten. Verrechnet heißt Zwischenschritte sauberer notieren. Antwort nicht ausformuliert heißt Antwortsätze üben.

Die Typen stammen aus dem Aufgabentyp-Register unseres Mathe-Abi-Buchs: 48 Typen, davon 23 in der Analysis, 11 in der Stochastik und 14 in der Geometrie. Die Einteilung ist unsere eigene Praxiseinordnung, keine amtliche Klassifikation. Einen Überblick findest du in Aufgabentypen im Mathe-Abi.

Aufgabe 1: Ein Radweg (Teil-A-Stil, ohne Hilfsmittel)

Diese Aufgabe verbindet drei Typen: Nullstellen, Extrempunkte mit Randwerten und Wendepunkt nachweisen. Du kannst sie ohne Taschenrechner lösen.

Aufgabe 1. Das Höhenprofil eines Radwegs wird für 0 <= x <= 4 durch f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x beschrieben. Dabei ist x die Strecke in Kilometern, f(x) die Höhe über dem Startpunkt. Eine Einheit der Höhe entspricht 10 m.

a) Berechnen Sie die Nullstellen von f.

b) Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von f.

c) Bestimmen Sie die größte Höhe, die der Radweg erreicht.

d) Weisen Sie nach, dass W(2|2) ein Wendepunkt ist, und bestimmen Sie die Steigung dort.

Lösungsweg

Teil a) Nullstellen

1. Ausklammern: f(x) = x · (x^2 - 6x + 9) = x · (x - 3)^2
2. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x = 0 oder x - 3 = 0

Antwortsatz: Die Nullstellen sind x = 0 und x = 3. Bei x = 3 berührt der Graph die x-Achse nur, der Radweg liegt dort also wieder auf Starthöhe.

Teil b) Extrempunkte

1. Ableitung: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3 · (x - 1) · (x - 3)
2. f'(x) = 0 ergibt x = 1 oder x = 3
3. Zweite Ableitung: f''(x) = 6x - 12
4. f''(1) = -6, also negativ: Hochpunkt. f(1) = 1 - 6 + 9 = 4
5. f''(3) = 6, also positiv: Tiefpunkt. f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

Antwortsatz: Der Graph hat den Hochpunkt H(1|4) und den Tiefpunkt T(3|0).

Teil c) größte Höhe

1. Kandidaten sind der Hochpunkt und die Ränder des Intervalls 0 <= x <= 4.
2. f(0) = 0 und f(4) = 64 - 96 + 36 = 4

Antwortsatz: Die größte Höhe ist 4, das sind 40 m. Sie wird zweimal erreicht, bei x = 1 und am Ende der Strecke bei x = 4. Wer nur den Hochpunkt anschaut, übersieht den zweiten Punkt, und genau dort liegt die Fehlerart “Randwert vergessen“.

Teil d) Wendepunkt

1. f''(2) = 12 - 12 = 0
2. Dritte Ableitung: f'''(x) = 6, also f'''(2) = 6, ungleich null. Damit liegt ein Wendepunkt vor.
3. Punkt prüfen: f(2) = 8 - 24 + 18 = 2, also liegt W(2|2) auf dem Graphen.
4. Steigung: f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3

Antwortsatz: W(2|2) ist ein Wendepunkt. Dort ist das Gefälle am größten: Der Radweg fällt um 3 Höheneinheiten pro Kilometer, das sind 30 m pro Kilometer.

Aufgabe 2: Paketversand (Teil-B-Stil, mit Rechner)

Diese Aufgabe verbindet drei Typen: Erwartungswert und Standardabweichung, Wahrscheinlichkeit berechnen und eine Entscheidungsregel beurteilen.

Aufgabe 2. Ein Versandlager erhält an einem Tag 50 Pakete. Jedes Paket kommt mit der Wahrscheinlichkeit 0,08 beschädigt an, unabhängig von den anderen. Die Zufallsgröße X zählt die beschädigten Pakete.

a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Pakete beschädigt sind.

c) Das Lager schlägt Alarm, wenn mindestens drei Pakete beschädigt sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Alarm.

d) Beurteilen Sie, ob diese Alarmgrenze sinnvoll ist.

Lösungsweg

Teil a) Erwartungswert und Standardabweichung

1. X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,08.
2. Erwartungswert: 50 · 0,08 = 4
3. Standardabweichung: Wurzel(50 · 0,08 · 0,92) = Wurzel(3,68), das sind etwa 1,92

Antwortsatz: Im Mittel sind 4 Pakete pro Tag beschädigt, mit einer Standardabweichung von etwa 1,92 Paketen.

Teil b) genau zwei beschädigte Pakete

1. P(X = 2) = (50 über 2) · 0,08^2 · 0,92^48
2. (50 über 2) = 1225, dazu 0,08^2 = 0,0064 und 0,92^48 ist etwa 0,0183
3. Ergebnis: etwa 0,143

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 14,3 % sind genau zwei Pakete beschädigt.

Teil c) Alarmwahrscheinlichkeit

1. Gesucht ist P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)
2. P(X <= 2) ist etwa 0,226 (aus Tabelle oder Rechner)
3. P(X >= 3) = 1 - 0,226 = 0,774

Antwortsatz: Die Alarmwahrscheinlichkeit beträgt etwa 77,4 %.

Teil d) beurteilen

Das Urteil lautet: Die Grenze ist nicht sinnvoll. Die Begründung: Der Erwartungswert liegt bei 4 beschädigten Paketen, also gehört ein Alarm ab 3 zum Normalbetrieb und käme an mehr als sieben von zehn Tagen. Ein Alarm sollte eine Ausnahme melden. Mit einer Grenze ab 8 beschädigten Paketen läge die Alarmwahrscheinlichkeit bei etwa 4,4 %, weil P(X <= 7) etwa 0,956 beträgt.

Dein nächster Schritt

Such dir eine Aufgabengruppe aus deinem Land, die du noch nicht bearbeitet hast, und plane einen Samstagvormittag dafür ein. Arbeite sie nach dem Vier-Durchgänge-Protokoll durch, korrigiere mit dem Erwartungshorizont und trage jeden Fehler in die Fehlerliste ein. Danach siehst du auf einen Blick, welcher Aufgabentyp dir die meisten Punkte kostet. Mit genau diesem Typ beginnt deine nächste Übungswoche. Wie du die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht im Abi-Lernplan. Er ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe. Wenn du beim Auswerten einer Probeprüfung Unterstützung willst, findest du sie bei unserer Mathe-Nachhilfe.