Stochastik im Mathe-Abi: diese Aufgabentypen solltest du erkennen

In allen 16 Bundesländern ist im Stochastik-Teil ein Thema sicher dabei: die Binomialverteilung. Sie gilt überall und auf beiden Niveaus, im Grundkurs wie im Leistungskurs. Vieles andere hängt dagegen von deinem Land und deinem Kursniveau ab, von der Normalverteilung bis zum Hypothesentest. Wer das nicht trennt, übt am Ende für Aufgaben, die bei ihm gar nicht drankommen.

Diese Seite sortiert den Stochastik-Teil nach Aufgabentypen statt nach Stoffkapiteln. Du erfährst, woran du jeden Typ in der Aufgabe erkennst, wie du rangehst und wo es wirklich landesabhängig wird. Wo dieser Baustein in den großen Zusammenhang gehört, zeigt dir unsere Übersicht zu den Themen im Mathe-Abi.

Was im Stochastik-Teil wirklich drankommt

Stochastik ist eines der drei Sachgebiete der schriftlichen Mathe-Prüfung, neben Analysis und Geometrie. In den bundesweiten Bildungsstandards läuft der Bereich unter der Leitidee “Daten und Zufall“ (KMK-Beschluss vom 18.10.2012, Bildungsstandards Mathematik).

Ein harter Kern ist in allen Ländern Pflicht. Dazu gehören die Bernoulli-Kette und die Binomialverteilung, die kumulierte Binomialverteilung mit den Mindestens-Aufgaben, Baumdiagramme mit Pfadregeln sowie die Vierfeldertafel mit der bedingten Wahrscheinlichkeit. Auf diese Themen kannst du dich überall einstellen.

Andere Themen sind nicht überall gleich wichtig. Die Normalverteilung ist zwar in allen Ländern im Lehrplan, für das grundlegende Niveau aber nur in Baden-Württemberg und Bayern, sonst zählt sie zum erhöhten Niveau. Der Hypothesentest mit den Fehlern erster und zweiter Art ist das uneinheitlichste Stochastik-Thema überhaupt: In einigen Ländern prüft man stattdessen Konfidenz- oder Prognoseintervalle, in Nordrhein-Westfalen wurde der Test im Kernlehrplan von 2023 ganz gestrichen. Welche Niveau-Begriffe für dich gelten, Leistungsfach oder Basisfach, eA oder gA, legt dein Bundesland fest. Wie die Prüfung insgesamt aufgebaut ist, liest du in unserem Beitrag dazu, wie eine Mathe-Abi-Klausur abläuft.

Diese Aufgabentypen solltest du erkennen

Der Stochastik-Teil wiederholt sich stärker, als es beim ersten Blick wirkt. Hinter den wechselnden Sachkontexten stecken immer dieselben Aufgabentypen. Wenn du den Typ erkennst, weißt du den ersten Schritt schon, bevor du die Zahlen liest. Die folgende Einteilung stammt aus dem Aufgabentyp-Register unseres Mathe-Abi-Buchs.

Diese Typen begegnen dir am häufigsten:

• Binomialverteilung, einzeln oder kumuliert: n gleiche Versuche mit fester Wahrscheinlichkeit, Signalwörter sind “genau“, “höchstens“, “mindestens“.
• Term zu einem Ereignis deuten: Ein fertiger Term steht da, gefragt ist, welches Ereignis er beschreibt oder warum er stimmt.
• Mehrstufige Zufallsexperimente: “nacheinander“, “zwei Runden“, “ohne Zurücklegen“, der Weg führt über ein Baumdiagramm.
• Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit: zwei Merkmale gleichzeitig, Formulierungen wie “unter den“.
• Kleinstes n oder p bestimmen: “wie groß muss ... mindestens sein“, “mindestens ... Prozent“.
• Signifikanztest: “Nullhypothese“, “Signifikanzniveau“, “Fehler zweiter Art“.

Für jeden dieser Typen gibt es ein festes Vorgehen. Die wichtigsten zwei schauen wir uns jetzt genauer an.

Binomialverteilung: der Typ, der fast immer dran ist

Du erkennst eine Binomialaufgabe daran, dass ein Versuch unter gleichen Bedingungen mehrfach wiederholt wird und jeder Versuch nur zwei Ausgänge hat, Treffer oder kein Treffer. Die Wahrscheinlichkeit bleibt in jedem Versuch gleich. Tauchen dazu die Wörter “genau“, “höchstens“ oder “mindestens“ auf, ist der Typ sicher.

So gehst du ran:

1. Benenne n und p, bevor du rechnest. n ist die Anzahl der Versuche, p die Trefferwahrscheinlichkeit.
2. “Genau k Treffer“ rechnest du mit der Formel für die einzelne Wahrscheinlichkeit.
3. “Höchstens k“ liest du als kumulierten Wert ab, über die Tabelle oder den Rechner.
4. “Mindestens“ formst du um: Wenn die günstige Seite viele Fälle hätte, rechnest du über das Gegenereignis, also eins minus die Wahrscheinlichkeit des Rests.

Eng verwandt ist der Typ “kleinstes n oder p“. Hier steht eine Mindestforderung in der Aufgabe, etwa “mit mehr als 90 Prozent Wahrscheinlichkeit“. Du schreibst die Forderung als Ungleichung, bringst sie über das Gegenereignis auf eine Potenz und löst nach n auf. Am Ende prüfst du beide Nachbarwerte und zeigst, dass der eine die Forderung erfüllt und der andere nicht.

Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine Vierfeldertafel brauchst du, wenn zwei Merkmale gleichzeitig eine Rolle spielen, zum Beispiel “bestanden ja oder nein“ und “geübt ja oder nein“. Das Signalwort ist meist “unter den“, etwa “wie groß ist der Anteil der Bestandenen unter denen, die geübt haben“.

So gehst du ran: Du legst die Tafel an und füllst sie über die Zeilen- und Spaltensummen, bis alle vier Felder stehen. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit, “unter den B“, rechnest du als gemeinsame Wahrscheinlichkeit geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. Zum Schluss nimmst du eine Summe, die du noch nicht benutzt hast, als Probe.

Ein Hinweis zur Vorbereitung: Die Vierfeldertafel und die bedingte Wahrscheinlichkeit sind überall Pflicht. Der Satz von Bayes als eigens benannter Satz ist dagegen nur in wenigen Ländern verbindlich, namentlich in Brandenburg, Hamburg und Sachsen. Schau in deinen Vorgaben nach, ob er bei dir dazugehört.

Normalverteilung, Sigma-Regeln und Hypothesentest: hier wird es landesabhängig

Diese drei Themen solltest du nicht blind lernen, sondern erst gegen deine Landesvorgaben prüfen. Sie sind der Teil der Stochastik, der sich von Land zu Land und von Niveau zu Niveau am stärksten unterscheidet.

Die Normalverteilung erkennst du an einer glockenförmigen Dichtefunktion und am Wort “normalverteilt“. Du liest Erwartungswert und Standardabweichung aus der Dichte ab und bestimmst Wahrscheinlichkeiten mit dem Rechnerwerkzeug. Für das grundlegende Niveau ist sie nur in Baden-Württemberg und Bayern verbindlich, in den übrigen Ländern gehört sie zum erhöhten Niveau.

Die Sigma-Regeln beschreiben, welcher Anteil der Werte in bestimmten Umgebungen um den Erwartungswert liegt. Sie sind in zwölf der 16 Länder Pflicht, oft nur im erhöhten Niveau.

Der Hypothesentest ist das Thema mit den größten Unterschieden. Du legst die Nullhypothese und die Richtung fest, setzt den Ablehnungsbereich als Ungleichung an und suchst die Grenze. Ein Fehler zweiter Art bedeutet, die Nullhypothese nicht abzulehnen, obwohl sie falsch ist. Pflicht auf beiden Niveaus ist der Test nur in Bayern, dort einseitig, und in Sachsen. In vielen Ländern steht er nur im erhöhten Niveau, und in Niedersachsen, Sachsen-Anhalt und Thüringen prüft man stattdessen Konfidenz- oder Prognoseverfahren. Lies aus deinen Vorgaben heraus, welches Verfahren bei dir zählt, damit du nicht das falsche übst.

Ein eigenes Beispiel zum Mitrechnen

Damit die Binomialverteilung greifbar wird, hier eine eigene Beispielaufgabe mit eigenen Zahlen, keine Prüfungsaufgabe.

Eine Lern-App stellt dir pro Durchgang 10 Aufgaben. Nimm an, du löst jede Aufgabe unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,7.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du genau 8 Aufgaben richtig hast? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mindestens 8 richtig hast? c) Wie viele Durchgänge brauchst du mindestens, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal alle 10 richtig zu haben, über 90 Prozent liegt?

Lösung zu a):

1. Modell benennen: X ist die Anzahl der richtigen Aufgaben, X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,7.
2. Formel für genau k: P(X = 8) = C(10, 8) mal 0,7^8 mal 0,3^2.
3. Werte einsetzen: C(10, 8) = 45, 0,7^8 = 0,0576, 0,3^2 = 0,09.
4. Ausrechnen: P(X = 8) = 45 mal 0,0576 mal 0,09 = 0,233.

Antwort: Mit rund 23 Prozent Wahrscheinlichkeit hast du genau 8 der 10 Aufgaben richtig.

Lösung zu b):

1. “Mindestens 8“ heißt X = 8 oder X = 9 oder X = 10.
2. Weil nur drei Fälle günstig sind, addierst du sie direkt: P(X >= 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10).
3. Die fehlenden Werte: P(X = 9) = 10 mal 0,7^9 mal 0,3 = 0,121 und P(X = 10) = 0,7^10 = 0,028.
4. Summe: 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382.

Antwort: Mit rund 38 Prozent hast du mindestens 8 richtig. Hätte die günstige Seite viele Fälle, zum Beispiel “mindestens 2 richtig“, würdest du besser über das Gegenereignis rechnen, also P = 1 minus die wenigen schlechten Fälle.

Lösung zu c):

1. Pro Durchgang gilt: P(alle 10 richtig) = 0,7^10 = 0,0282.
2. In n Durchgängen mindestens einmal alle richtig: Das Gegenereignis ist “in keinem Durchgang alle richtig“. Also P = 1 minus 0,9718^n, denn 1 minus 0,0282 = 0,9718.
3. Forderung: 1 minus 0,9718^n > 0,9, das heißt 0,9718^n < 0,1.
4. Logarithmieren: n > ln(0,1) / ln(0,9718), also ungefähr n > 80,5.
5. Nachbarwerte prüfen: 0,9718^80 = 0,101 liegt noch über 0,1, 0,9718^81 = 0,099 liegt darunter.

Antwort: Du brauchst mindestens 81 Durchgänge.

So übst du Stochastik-Aufgaben gezielt

Üben bedeutet in der Stochastik vor allem, Aufgabentypen schnell zu erkennen. Aus unserer Nachhilfe-Praxis hören wir oft, dass der Rechenweg sitzt, aber beim Lesen der Aufgabe die ersten Minuten verloren gehen. Darum lohnt sich ein Training, das beim Einordnen ansetzt und nicht beim reinen Rechnen.

Ein Vorschlag aus unserem Abi-Trainingsplan, kein amtliches Vorgehen: Fang mit einer kurzen Standortbestimmung an und rechne gemischte Stochastik-Aufgaben unter Zeit. So siehst du, welche Typen dir noch Mühe machen. Danach übst du gezielt diese Typen, statt das ganze Kapitel noch einmal von vorn durchzugehen. Wie du das in Wochen aufteilst, zeigt dir unser Leitfaden zum Abi-Lernplan.

Achte beim Üben auf die Operatoren, also die Aufgabenwörter. Der IQB-Grundstock der Operatoren für Mathematik gilt unverändert (IQB-Operatoren). “Berechnen“ verlangt eine Rechnung mit Ergebnis. “Begründen“ oder “zeigen“ verlangt eine Argumentation in Worten, nicht nur eine Rechnung. “Beurteilen“ verlangt eine eigene Einschätzung mit Begründung. Wer die Operatoren ernst nimmt, verliert keine Punkte, weil er die falsche Art von Antwort geschrieben hat.

Wenn du beim Üben allein nicht weiterkommst, hilft gezielte Unterstützung. C&C bietet Mathe-Nachhilfe online und im Ostalbkreis, einen Überblick findest du auf der Seite zu unseren Nachhilfeangeboten.

Nächste Schritte

Starte mit dem, was überall zählt: die Binomialverteilung einzeln und kumuliert, dazu Baumdiagramme und die Vierfeldertafel. Prüfe danach in deinen Landesvorgaben, ob Normalverteilung, Sigma-Regeln und Hypothesentest für dein Niveau dazugehören, und übe nur das, was bei dir drankommt. Rechne zum Schluss gemischte Aufgaben unter Zeit, damit das Erkennen der Typen zur Routine wird.

Wenn du beim Üben tiefer einsteigen willst, lies weiter: In unserem Beitrag zum hilfsmittelfreien Teil im Mathe-Abi siehst du, was ohne Rechner verlangt wird, und für das größte Sachgebiet erklären wir, wie du Analysis-Aufgaben angehst.