Hypothesentest im Mathe-Abi: Wann lehnst du die Nullhypothese ab?

Ein Hypothesentest beweist nie, dass eine Behauptung stimmt, er zeigt nur, ob ein Stichprobenergebnis zu ihr passt. Wer das verstanden hat, schreibt den Antwortsatz richtig und rechnet den Rest als Binomialverteilung. Welche Themen sonst im Mathe-Abi drankommen, ordnet die Übersicht zu den Mathe-Abi-Themen ein.

Was ein Hypothesentest im Mathe-Abi entscheidet

Ein Hypothesentest entscheidet, ob ein Stichprobenergebnis so weit von einer Annahme abweicht, dass du diese Annahme ablehnst. Die Annahme heißt Nullhypothese H0 und nennt einen festen Anteil p0. Die Gegenhypothese H1 enthält die Vermutung, die du prüfen willst.

Das Signifikanzniveau legt fest, wie viel Irrtum du bei der Ablehnung höchstens zulässt. Üblich sind 5 % oder 1 %. Den Ablehnungsbereich bestimmst du, bevor du auf das Stichprobenergebnis schaust.

Ob du das Thema brauchst, hängt von deinem Land und deinem Niveau ab. Nach unserer Lehrplan-Matrix (Stand 18.07.2026, ausgewertet aus den amtlichen Lehrplänen) gilt:

• Auf beiden Niveaus: Bayern (dort nur einseitige Tests) und Sachsen.
• Nur auf erhöhtem Niveau: Baden-Württemberg, Berlin, Brandenburg, Hamburg, Hessen, Mecklenburg-Vorpommern, Rheinland-Pfalz, Saarland und Schleswig-Holstein.
• Bremen: nur als Wahlalternative im Leistungskurs.
• Nicht im Lehrplan: Niedersachsen, Nordrhein-Westfalen, Sachsen-Anhalt und Thüringen. Niedersachsen, Sachsen-Anhalt und Thüringen arbeiten stattdessen mit Prognose- und Konfidenzintervallen.

Dein eigener Lehrplan und die Vorgaben deiner Schule gehen immer vor.

Der Ablauf in fünf Schritten

Das ist unser Praxisablauf, keine amtliche Vorgabe. Er funktioniert für rechtsseitige, linksseitige und zweiseitige Tests gleich.

1. Zufallsgröße festlegen: X zählt die Treffer in der Stichprobe, n steht in der Aufgabe.
2. H0 mit dem Wert p0 und H1 mit der Vermutung aufschreiben.
3. Ablehnungsbereich ansetzen, zum Beispiel P(X ≥ k) ≤ 0,05, und beide Nachbarwerte von k rechnen.
4. Das Stichprobenergebnis mit dem Ablehnungsbereich vergleichen.
5. Antwortsatz im Sachkontext schreiben.

Beispielaufgabe: verspätete Medien in der Stadtbibliothek

Die Aufgabe ist eine eigene Aufgabe mit eigenen Zahlen. Rechne sie zuerst allein und vergleiche dann Schritt für Schritt.

Aufgabe. Eine Stadtbibliothek gibt an, dass höchstens 25 % der Medien verspätet zurückkommen. Eine Mitarbeiterin vermutet, dass der Anteil größer ist. Sie prüft 50 zufällig gewählte Rückgaben und testet auf dem Signifikanzniveau 5 %.

a) Formuliere die Hypothesen.
b) Bestimme den Ablehnungsbereich.
c) In der Stichprobe sind 17 Medien verspätet. Wie fällt die Entscheidung aus?
d) Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wahrheit 40 % der Medien verspätet zurückkommen.

Schritte 1 und 2: Zufallsgröße und Hypothesen

Die Mitarbeiterin vermutet einen größeren Anteil, also gehören große Werte von X gegen H0. Das macht den Test rechtsseitig.

1. p ist der Anteil verspäteter Medien. X ist die Anzahl verspäteter Medien unter 50.
2. H0: p ≤ 0,25 (Angabe der Bibliothek)
3. H1: p > 0,25 (Vermutung der Mitarbeiterin)

Schritt 3: Ablehnungsbereich

Im Grenzfall p = 0,25 gilt X ~ B(50; 0,25). Der Ablehnungsbereich beginnt beim kleinsten k, für das P(X ≥ k) ≤ 0,05 gilt.

1. P(X ≥ 18) = 1 − P(X ≤ 17) = 0,0551. Das ist größer als 0,05.
2. P(X ≥ 19) = 1 − P(X ≤ 18) = 1 − 0,9713 = 0,0287. Das ist höchstens 0,05.
3. Ablehnungsbereich: {19; …; 50}.

Antwortsatz: Wenn mindestens 19 der 50 Medien verspätet sind, lehnt die Mitarbeiterin die Angabe der Bibliothek ab.

Schritt 4 und 5: Entscheidung und Antwortsatz

17 liegt nicht im Ablehnungsbereich. H0 wird nicht abgelehnt.

Antwortsatz: Mit 17 verspäteten Medien reicht das Ergebnis auf dem Niveau 5 % nicht aus, um die Angabe der Bibliothek zu widerlegen. Es beweist aber auch nicht, dass die Angabe stimmt.

Das wirkt zunächst unfair: 17 von 50 sind 34 %, erwartet werden bei p = 0,25 nur 12,5 Medien. Die Standardabweichung ist σ = √(50 · 0,25 · 0,75) ≈ 3,06, also liegt 17 nur etwa 1,5 σ über dem Erwartungswert. So ein Wert kommt durch Zufall häufig genug vor.

Teil d): Fehler 2. Art

Fehler 2. Art heißt hier: H0 wird nicht abgelehnt, obwohl in Wahrheit p = 0,4 gilt. Das trifft zu, wenn X ≤ 18 ist.

1. Für p = 0,4 gilt X ~ B(50; 0,4).
2. P(X ≤ 18) = 0,3356.

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 33,6 % übersieht der Test, dass der Anteil in Wahrheit bei 40 % liegt.

Fehler 1. und 2. Art auseinanderhalten

Beide Fehler beschreiben eine falsche Entscheidung. Welche, hängt davon ab, was in Wirklichkeit gilt.

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist höchstens das Signifikanzniveau. In der Beispielaufgabe beträgt sie 0,0287, weil die Werte der Binomialverteilung diskret sind und die Grenze nicht genau auf 5 % fällt.

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kannst du nur für einen konkreten Wert von p ausrechnen, den die Aufgabe nennt. Sie wird kleiner, wenn der wahre Anteil weiter von p0 entfernt liegt. Bei p = 0,4 sind es 33,6 %, bei p = 0,5 nur noch etwa 3 %.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich, ob der Test rechts-, links- oder zweiseitig ist? An der Vermutung in der Aufgabe. „Größer“, „mehr“ oder „höher“ heißt rechtsseitig, „kleiner“, „weniger“ oder „niedriger“ heißt linksseitig, „weicht ab“ ohne Richtung heißt zweiseitig. Bei zweiseitigen Tests verteilst du das Signifikanzniveau auf beide Seiten.

Muss ich die Binomialverteilung auswendig rechnen? Nein, aber du brauchst die kumulierte Verteilung P(X ≤ k) aus Tabelle oder Rechner. Was in deinem Land als Hilfsmittel zugelassen ist, regeln die Vorgaben deines Landes.

Wo finde ich mehr eigene Aufgaben dazu? Der Beitrag zum Hypothesentest im Abitur rechnet einen rechtsseitigen, einen linksseitigen und einen zweiseitigen Test durch. Die kumulierte Binomialverteilung übst du mit den Stochastik-Aufgaben im Abi. Welche Stochastik-Themen in welchem Land gelten, zeigt die Themenübersicht für alle Länder.

Dein nächster Schritt

Ändere in der Beispielaufgabe den Stichprobenumfang auf n = 40 oder das Niveau auf 1 % und bestimme den Ablehnungsbereich neu. So siehst du, wie die Grenze wandert, und prüfst, ob du den Ablauf ohne Vorlage beherrschst. Wie du solche Einheiten auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht im Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.