Hypothesentest im Abitur: Nullhypothese, Ablehnungsbereich und Fehler 2. Art an drei eigenen Aufgaben

Beim Hypothesentest entscheidet die erste Zeile über den Rest der Aufgabe: Wenn Nullhypothese und Richtung stimmen, ist der Rest saubere Binomialverteilung. Wenn nicht, rechnest du präzise am Ziel vorbei.

Diese Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du bekommst einen festen Ablauf in sechs Schritten und drei eigene Aufgaben: einen rechtsseitigen, einen linksseitigen und einen zweiseitigen Test. Alle Aufgaben haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen.

Wo der Hypothesentest im Abitur gefragt ist

Der Hypothesentest ist das uneinheitlichste Kernthema der Stochastik. Laut unserer Lehrplan-Matrix (Stand 18.07.2026) ist er in elf Ländern Pflicht, in vier Ländern nicht im Lehrplan und in einem Land eine Wahlalternative.

• Auf beiden Niveaus: Bayern (dort nur einseitige Tests) und Sachsen (dort sind die Fehlerarten nicht ausdrücklich genannt).
• Nur auf erhöhtem Niveau: Baden-Württemberg, Berlin, Brandenburg, Hamburg, Hessen, Mecklenburg-Vorpommern, Rheinland-Pfalz, Saarland und Schleswig-Holstein.
• Bremen: nur als Wahlalternative im Leistungskurs. Im Zentralabitur 2026 wurde stattdessen das Schätzen geprüft.
• Nicht im Lehrplan: Niedersachsen, Nordrhein-Westfalen, Sachsen-Anhalt und Thüringen. In Niedersachsen, Sachsen-Anhalt und Thüringen ersetzen Prognose- und Konfidenzintervalle den Test, in Nordrhein-Westfalen wurde er im Kernlehrplan 2023 gestrichen.

Prüf deshalb zuerst, ob dein Land und dein Niveau den Test enthalten. Ein Thema, das dein Lehrplan nicht verlangt, kostet dich nur Zeit. Die Signalwörter in einer Aufgabe sind “Nullhypothese“, “Signifikanzniveau“, “Entscheidungsregel“ und “Fehler zweiter Art“.

Der Ablauf in sechs Schritten

Das ist unser Praxisablauf, keine amtliche Vorgabe:

1. Zufallsgröße festlegen: X zählt die Treffer in der Stichprobe, n steht in der Aufgabe.
2. Nullhypothese H0 mit dem Wert p0 aufschreiben. Die Gegenhypothese H1 enthält die Vermutung, die getestet wird.
3. Richtung bestimmen: Welche Werte von X sprechen gegen H0? Sehr große (rechtsseitig), sehr kleine (linksseitig) oder beide (zweiseitig)?
4. Ablehnungsbereich als Ungleichung ansetzen, zum Beispiel P(X >= k) <= 0,05, und die Grenze suchen. Beide Nachbarwerte rechnen, nicht nur den, der passt.
5. Entscheidung treffen: Liegt das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich, lehnst du H0 ab. Sonst lehnst du sie nicht ab.
6. Antwortsatz im Sachkontext schreiben. Bei Fehlern gilt: Fehler 1. Art heißt H0 ablehnen, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art heißt H0 nicht ablehnen, obwohl H1 gilt.

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist höchstens das Signifikanzniveau. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kannst du nur für einen konkreten Wert von p ausrechnen, den die Aufgabe nennt.

Aufgabe 1: Flaschen mit zu wenig Inhalt

Aufgabe 1. Ein Getränkehersteller gibt an, dass höchstens 10 % seiner Flaschen zu wenig Inhalt haben. Ein Händler vermutet, dass der Anteil größer ist. Er prüft 100 zufällig gewählte Flaschen und testet auf dem Signifikanzniveau 5 %.

a) Formulieren Sie Nullhypothese und Gegenhypothese.

b) Bestimmen Sie die Entscheidungsregel.

c) Der Händler findet 14 Flaschen mit zu wenig Inhalt. Wie fällt die Entscheidung aus?

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn in Wahrheit 20 % der Flaschen zu wenig Inhalt haben.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Vermutet, dass der Anteil größer ist“ gibt die Richtung vor: Zu viele Treffer sprechen gegen die Angabe des Herstellers. Das ist ein rechtsseitiger Test.

Lösungsweg

Teil a)

1. p ist der Anteil der Flaschen mit zu wenig Inhalt.
2. H0: p <= 0,1 (Angabe des Herstellers)
3. H1: p > 0,1 (Vermutung des Händlers)

Teil b)

1. X ist die Anzahl der Flaschen mit zu wenig Inhalt unter 100. Im Grenzfall p = 0,1 gilt X ~ B(100; 0,1).
2. Ablehnungsbereich: {k; ...; 100} mit dem kleinsten k, für das P(X >= k) <= 0,05 gilt.
3. P(X >= 15) = 1 - P(X <= 14) = 0,0726. Das ist größer als 0,05.
4. P(X >= 16) = 1 - P(X <= 15) = 0,0399. Das ist höchstens 0,05.
5. Ablehnungsbereich: {16; ...; 100}.

Teil c)

14 liegt nicht im Ablehnungsbereich. H0 wird nicht abgelehnt.

Antwortsatz: Das Ergebnis reicht auf dem Niveau 5 % nicht aus, um die Angabe des Herstellers zu widerlegen. Es beweist aber auch nicht, dass die Angabe stimmt.

Teil d)

1. Fehler 2. Art: H0 wird nicht abgelehnt, obwohl p = 0,2 gilt. Das bedeutet X <= 15.
2. Für p = 0,2 gilt X ~ B(100; 0,2). P(X <= 15) = 0,1285.

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 12,9 % übersieht der Test, dass der Anteil in Wahrheit bei 20 % liegt.

Aufgabe 2: Keimrate im Schulgarten

Aufgabe 2. Ein Hersteller gibt an, dass mindestens 80 % der Samen einer Sorte keimen. Der Schulgarten vermutet, dass die Keimrate niedriger ist, und sät 50 Samen aus. Getestet wird auf dem Signifikanzniveau 5 %.

a) Formulieren Sie die Hypothesen und bestimmen Sie die Entscheidungsregel.

b) Es keimen 33 Samen. Wie fällt die Entscheidung aus?

c) Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese fälschlich abgelehnt wird, wenn die Angabe des Herstellers genau zutrifft.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Mindestens 80 %“ in der Angabe und “niedriger“ in der Vermutung: Zu wenige Treffer sprechen gegen H0. Das ist ein linksseitiger Test, der Ablehnungsbereich beginnt bei 0.

Lösungsweg

Teil a)

1. H0: p >= 0,8 und H1: p < 0,8
2. X ist die Anzahl der gekeimten Samen. Im Grenzfall gilt X ~ B(50; 0,8).
3. Ablehnungsbereich: {0; ...; g} mit dem größten g, für das P(X <= g) <= 0,05 gilt.
4. P(X <= 34) = 0,0308. Das ist höchstens 0,05.
5. P(X <= 35) = 0,0607. Das ist größer als 0,05.
6. Ablehnungsbereich: {0; ...; 34}.

Teil b)

33 liegt im Ablehnungsbereich. H0 wird abgelehnt.

Antwortsatz: Das Ergebnis spricht auf dem Niveau 5 % dafür, dass die Keimrate unter 80 % liegt.

Teil c)

Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art: P(X <= 34) = 0,0308, also etwa 3,1 %. Sie liegt unter dem Signifikanzniveau von 5 %, weil die Werte der Binomialverteilung diskret sind und die Grenze nicht genau auf 5 % fällt.

Aufgabe 3: Zufallsgenerator mit zweiseitigem Test

Diese Aufgabe brauchst du nur, wenn dein Land zweiseitige Tests verlangt. In Bayern sind laut unserer Matrix nur einseitige Tests vorgesehen.

Aufgabe 3. Ein Zufallsgenerator in einer Lern-App soll Fragen mit gleicher Wahrscheinlichkeit als “leicht“ oder “schwer“ einstufen (p = 0,5). Bei 40 erzeugten Fragen soll getestet werden, ob der Generator von diesem Wert abweicht. Das Signifikanzniveau beträgt 5 %.

a) Formulieren Sie die Hypothesen und bestimmen Sie den Annahmebereich.

b) Berechnen Sie die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Abweicht“ ohne Richtung heißt zweiseitig. Das Signifikanzniveau wird auf beide Seiten verteilt: Auf jeder Seite darf der Ablehnungsbereich höchstens 2,5 % haben.

Lösungsweg

Teil a)

1. H0: p = 0,5 und H1: p != 0,5. X ist die Anzahl der als “leicht“ eingestuften Fragen, X ~ B(40; 0,5).
2. Linke Seite: P(X <= 13) = 0,0192 ist höchstens 0,025. P(X <= 14) = 0,0403 ist größer. Linker Ablehnungsbereich: {0; ...; 13}.
3. Rechte Seite: P(X >= 27) = 0,0192 ist höchstens 0,025. P(X >= 26) = 0,0403 ist größer. Rechter Ablehnungsbereich: {27; ...; 40}.
4. Annahmebereich: {14; ...; 26}.

Teil b)

Fehler 1. Art: 0,0192 + 0,0192 = 0,0385, also etwa 3,85 %.

Antwortsatz: Liegt die Anzahl der “leicht“-Fragen außerhalb von 14 bis 26, lehnst du H0 ab. Die Wahrscheinlichkeit, dabei einen echten Zufallsgenerator fälschlich zu verdächtigen, beträgt etwa 3,85 %.

Wo Punkte verloren gehen

Beim Hypothesentest fehlen oft dieselben drei Dinge. Die erste Stelle ist die Richtung: Wer H0 und H1 vertauscht, bekommt den falschen Ablehnungsbereich. Die Faustregel: H1 enthält das, was getestet werden soll, und aus ihr ergibt sich die Seite. Die zweite ist die Nachbarwert-Probe. Wer nur P(X >= 16) rechnet, kann nicht zeigen, dass 15 schon nicht mehr reicht. Die dritte ist der Antwortsatz: “H0 wird nicht abgelehnt“ ist kein Ergebnis im Sachkontext. Gefragt ist, was das Stichprobenergebnis für die Behauptung bedeutet, und dass sie dadurch nicht bewiesen ist.

Die Rechnung selbst läuft über die kumulierte Binomialverteilung, die du aus unserem Artikel zu Stochastik-Aufgaben im Abitur kennst. Wie sauber ein Aufgabentyp mit festem Ablauf und Randprüfung aufgebaut wird, siehst du auch bei den Extremwertaufgaben im Abitur.

Dein nächster Schritt

Klär zuerst, ob dein Lehrplan den Hypothesentest für dein Niveau enthält. Wenn ja, schreib den Ablauf aus sechs Schritten auf eine Karte und rechne drei eigene Aufgaben damit: eine rechtsseitige, eine linksseitige und eine mit Fehler 2. Art. Prüf jedes Mal beide Nachbarwerte und schreib den Antwortsatz im Sachkontext. Wie du die Übungseinheiten auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht in unserem Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.