Extremwertaufgaben im Abitur: Zielfunktion, Nebenbedingung und der Randwert-Check

Eine Extremwertaufgabe erkennst du an einer Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll, während eine zweite Bedingung dir etwas vorschreibt. Der Lösungsweg ist in fast jedem Fall derselbe: Aus beiden Angaben baust du eine Funktion mit einer Variablen und leitest sie ab.

Diese Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du bekommst einen festen Ablauf und drei eigene Aufgaben mit vollständigem Lösungsweg. Alle haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen.

Woran du eine Extremwertaufgabe erkennst

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung gehören laut unserer Lehrplan-Matrix zum Pflichtstoff in 15 Ländern, für das grundlegende wie das erhöhte Niveau. Die einzige Abweichung ist Baden-Württemberg: Im Basisfach wird dort nur die Extremwertbestimmung ohne Nebenbedingung verlangt, mit Nebenbedingung nur im Leistungsfach. In Berlin und Hessen beginnt der Stoff bereits in der Einführungsphase (Stand der Matrix: 18.07.2026).

Typische Signalwörter sind “maximaler Flächeninhalt“, “minimale Kosten“, “größtmögliches Volumen“ oder “für welchen Wert ist ... am größten“. Dazu steht im Text meist eine feste Größe, zum Beispiel eine Zaunlänge, eine Materialmenge oder eine Kurve, innerhalb der etwas liegen muss.

Die Ableitungstechnik selbst ist Kurvendiskussion, und die ist in allen 16 Ländern Pflicht. Neu ist nur der Weg zur Funktion, die du untersuchst.

Der Ablauf in fünf Schritten

Das ist unser Praxisablauf, keine amtliche Vorgabe:

1. Zielgröße benennen und mit Variablen aufschreiben (zum Beispiel A = x · y).
2. Nebenbedingung aufschreiben und nach einer Variablen auflösen.
3. Einsetzen: Du erhältst die Zielfunktion mit nur einer Variablen und legst den sinnvollen Definitionsbereich fest.
4. Ableiten, Ableitung null setzen, mit der zweiten Ableitung oder einem Vorzeichenwechsel prüfen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
5. Ränder des Definitionsbereichs prüfen, die zweite Variable ausrechnen und einen Antwortsatz mit Einheit schreiben.

Schritt 3 und Schritt 5 sind die, bei denen Punkte verloren gehen. Wer den Definitionsbereich weglässt, kann den Randwert-Check nicht begründen.

Aufgabe 1: Gehege an der Mauer

Aufgabe 1. Ein rechteckiges Gehege wird an eine lange gerade Mauer gebaut. Die Mauer dient als eine Seite, für die anderen drei Seiten stehen 60 Meter Zaun zur Verfügung. Die beiden Seiten senkrecht zur Mauer sind x Meter lang, die Seite parallel zur Mauer ist y Meter lang.

a) Stellen Sie die Fläche des Geheges in Abhängigkeit von x dar.

b) Bestimmen Sie x so, dass die Fläche maximal wird, und geben Sie die maximale Fläche an.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Fläche maximal“ ist die Zielgröße, “60 Meter Zaun“ die Nebenbedingung. Die Mauer sorgt dafür, dass nur drei Seiten gezählt werden.

Lösungsweg

Teil a)

1. Zielgröße: A = x · y
2. Nebenbedingung: 2x + y = 60, also y = 60 - 2x
3. Einsetzen: A(x) = x · (60 - 2x) = 60x - 2x^2
4. Definitionsbereich: x > 0 und y > 0, also 0 < x < 30

Teil b)

1. Ableiten: A'(x) = 60 - 4x
2. Null setzen: 60 - 4x = 0, also x = 15
3. Zweite Ableitung: A''(x) = -4. Sie ist negativ, also liegt bei x = 15 ein Hochpunkt vor.
4. Randwerte: A(0) = 0 und A(30) = 0, beide kleiner als der Wert im Hochpunkt.
5. Zweite Seite: y = 60 - 2 · 15 = 30. Fläche: A(15) = 15 · 30 = 450.

Antwortsatz: Die Fläche ist am größten, wenn die Seiten senkrecht zur Mauer 15 Meter und die Seite parallel zur Mauer 30 Meter lang sind. Das Gehege hat dann 450 Quadratmeter.

Probe: 2 · 15 + 30 = 60 Meter Zaun. Das passt.

Aufgabe 2: Schaufenster im Torbogen

Aufgabe 2. Der Querschnitt eines Torbogens wird in einem Koordinatensystem (Einheit: Meter) durch den Graphen von f mit f(x) = 9 - x^2 für -3 <= x <= 3 beschrieben. In den Bogen soll ein rechteckiges Schaufenster eingesetzt werden. Zwei Ecken liegen auf der x-Achse bei x = -u und x = u, die beiden oberen Ecken auf dem Graphen von f (0 < u < 3).

a) Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt des Fensters A(u) = 18u - 2u^3 gilt.

b) Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.

So erkennst du den Aufgabentyp

Hier steckt die Nebenbedingung im Graphen: Die oberen Ecken müssen auf der Kurve liegen, die Höhe ist also f(u). “Zeigen Sie, dass“ verlangt, dass jeder Schritt der Herleitung sichtbar ist.

Lösungsweg

Teil a)

1. Breite des Fensters: 2u. Höhe: f(u) = 9 - u^2.
2. Fläche: A(u) = 2u · (9 - u^2) = 18u - 2u^3

Teil b)

1. Ableiten: A'(u) = 18 - 6u^2
2. Null setzen: 18 - 6u^2 = 0, also u^2 = 3 und damit u = Wurzel(3), etwa 1,73 (negative Lösung scheidet wegen u > 0 aus).
3. Zweite Ableitung: A''(u) = -12u. Für u = Wurzel(3) ist sie negativ, also liegt ein Hochpunkt vor.
4. Randwerte: A(0) = 0 und A(3) = 18 · 3 - 2 · 27 = 0.
5. Maximale Fläche: A(Wurzel(3)) = 2 · Wurzel(3) · (9 - 3) = 12 · Wurzel(3), etwa 20,78.

Antwortsatz: Das Schaufenster hat bei einer Breite von etwa 3,46 Metern (2u) und einer Höhe von 6 Metern den größten Flächeninhalt von etwa 20,78 Quadratmetern.

Die Höhe von 6 Metern ergibt sich als f(Wurzel(3)) = 9 - 3. Der Wert ist eine gute Selbstkontrolle: Er muss kleiner als die Bogenhöhe von 9 Metern sein.

Aufgabe 3: Verpackung mit minimalem Material

Bei dieser eigenen Aufgabe ist das Extremum ein Minimum.

Aufgabe 3. Eine oben offene Box mit quadratischer Grundfläche soll ein Volumen von 32 Litern (32 dm^3) haben. Die Grundkante ist x dm lang, die Höhe h dm. Die Materialmenge soll möglichst klein sein.

a) Zeigen Sie, dass für die Oberfläche O(x) = x^2 + 128/x gilt.

b) Bestimmen Sie die Maße der Box mit minimalem Materialverbrauch.

Lösungsweg

Teil a)

1. Nebenbedingung: x^2 · h = 32, also h = 32/x^2
2. Oberfläche ohne Deckel: O = x^2 + 4 · x · h
3. Einsetzen: O(x) = x^2 + 4x · 32/x^2 = x^2 + 128/x

Teil b)

1. Ableiten: O'(x) = 2x - 128/x^2
2. Null setzen: 2x = 128/x^2, also x^3 = 64 und damit x = 4
3. Zweite Ableitung: O''(x) = 2 + 256/x^3. Für x = 4 ist sie 2 + 4 = 6 und damit positiv, also liegt ein Tiefpunkt vor.
4. Rand: Für x gegen 0 und für x gegen unendlich wächst O(x) über alle Grenzen, das lokale Minimum ist also das globale.
5. Höhe: h = 32/16 = 2. Oberfläche: O(4) = 16 + 32 = 48.

Antwortsatz: Die Box braucht am wenigsten Material bei einer Grundkante von 4 dm und einer Höhe von 2 dm. Die Oberfläche beträgt dann 48 Quadratdezimeter.

Probe: Volumen 4 · 4 · 2 = 32 dm^3. Das passt.

Wo Punkte verloren gehen

In Extremwertaufgaben fehlen oft dieselben drei Dinge. Die erste Stelle ist der Antwortsatz: Gefragt ist oft nicht nur die Stelle, sondern auch der Extremwert selbst, zum Beispiel die Fläche. Die zweite ist die Art des Extremums: Wenn A'(x) = 0 gilt, weißt du noch nicht, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Die dritte ist der Rand: Bei einem begrenzten Definitionsbereich kann das Maximum auch am Rand liegen, und dann hilft die Ableitung nicht weiter.

Wie du bei einer Kurvendiskussion Extrempunkte sauber prüfst, kannst du an e-Funktionen üben, die in unserem Artikel zu den Abituraufgaben zur e-Funktion vorgestellt werden. Wie ähnlich das Aufstellen von Gleichungen in der Geometrie läuft, siehst du in unserem Artikel zur linearen Algebra im Abitur.

Dein nächster Schritt

Schreib dir den Ablauf aus fünf Schritten auf eine Karte und rechne drei eigene Aufgaben damit, eine mit Zaun, eine mit Material und eine mit einer Kurve als Nebenbedingung. Kontrolliere jedes Mal Definitionsbereich, Art des Extremums und Ränder. Wie du die Übungseinheiten auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht in unserem Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.