Lineare Algebra im Abitur: meist keine Matrizen, dafür Gleichungssysteme und Linearkombination

Wer “lineare Algebra“ hört, denkt an Matrizen. Im Abitur der meisten Bundesländer stimmt das nicht: Matrizen sind als Pflichtstoff fast ausgestorben, Gleichungssysteme und Linearkombinationen dagegen stecken in nahezu jeder Geometrieaufgabe. Wer das weiß, spart sich Lernzeit an der falschen Stelle.

Diese Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du erfährst, welche Bausteine der linearen Algebra bundesweit gelten, wo sich die Länder unterscheiden und wie du die wichtigsten zwei Rechenwege an eigenen Aufgaben übst. Die Länderangaben stammen aus unserer Lehrplan-Matrix, die auf den amtlichen Lehrplänen der 16 Länder beruht (Stand 18.07.2026).

Was “lineare Algebra“ im Abitur meint

Lineare Algebra ist in den Lehrplänen meist kein eigenes Sachgebiet, sondern der rechnerische Teil der Geometrie. In unserer Lehrplan-Matrix steht sie deshalb gemeinsam mit der analytischen Geometrie unter “Geometrie/LA“. Gemeint sind damit Vektoren im Raum, Linearkombinationen, lineare Gleichungssysteme (LGS) und, je nach Land, Matrizen.

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von Gleichungen, in denen die Unbekannten nur einfach vorkommen, also ohne Potenzen und ohne Produkte untereinander. Das Gauß-Verfahren löst so ein System, indem du Gleichungen so addierst, dass Unbekannte nacheinander verschwinden.

Der Unterschied zur analytischen Geometrie ist dabei eher eine Frage der Blickrichtung. In einer Geometrieaufgabe fragt die Aufgabe nach einem Punkt oder einer Lage. Der Rechenweg dahinter ist fast immer ein Gleichungssystem. Wie die Geometrie-Aufgaben aufgebaut sind, zeigt unser Artikel zu den Aufgaben zur analytischen Geometrie.

Welche Bausteine in welchen Ländern Pflicht sind

Die Einstufungen in der Tabelle stammen aus unserer Lehrplan-Matrix mit Bezugszeitraum Abitur 2026 bis 2028. “Mehrheit“ heißt, dass der Baustein in den meisten Ländern verbindlich ist, “selten“, dass er fast nur noch als Wahlstoff vorkommt.

Baustein	Einstufung	Pflicht in	Nicht enthalten oder nur Wahl
Skalarprodukt, Winkel, Orthogonalität	Kern, laut Matrix nur eA	allen 16 Ländern	keine Ausnahme (RP: im Grundkurs nur bei Wahl des Gebiets A2)
LGS, Gauß-Verfahren	Mehrheit	14 Ländern	BY nur implizit als Werkzeug, MV unklar
Linearkombination, lineare (Un-)Abhängigkeit	Mehrheit	12 Ländern (RP und SN nur eA/LK)	HH und NW nur Kollinearität, MV Wahlthema
Kreuzprodukt	Mehrheit	10 Ländern (HE und MV nur eA)	BE, BB, HH, NI, NW nicht enthalten
Übergangs- und Prozessmatrizen	selten	nur SN (dort als Einblick-Beispiel)	BY, BE, HB, HH, HE, RP als Wahl oder Alternative
Abbildungsmatrizen	selten	nur MV und NI (jeweils eA)	übrige Länder nicht enthalten oder Wahl

Drei Dinge fallen auf. Erstens: Das Skalarprodukt ist der einzige Baustein, der wirklich überall gilt. Zweitens: Gleichungssysteme brauchst du praktisch immer, auch dort, wo das Gauß-Verfahren nicht namentlich im Lehrplan steht. Dann heißt es nur “algorithmisches Lösungsverfahren“ (so in BE, HE, NW, SH, ST, TH). Drittens verläuft beim Kreuzprodukt eine klare Grenze: Der Süden, der Osten und Schleswig-Holstein verlangen es, die Länder BE, BB, HH, NI und NW nicht.

Prüf deshalb immer deinen eigenen Lehrplan, bevor du ein Thema vertiefst. Bei der Einstufung “Kern, nur eA“ heißt das für dich: Auf erhöhtem Niveau kannst du dich auf das Skalarprodukt verlassen, auf grundlegendem Niveau gilt es in 15 der 16 Länder ebenfalls.

Aufgabe 1: Gartenerde mischen mit dem Gauß-Verfahren

Diese Aufgabe haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen.

Aufgabe 1. Eine Gärtnerei mischt 100 Liter Blumenerde aus drei Sorten A, B und C. Sorte A liefert 4 Nährstoffeinheiten pro Liter, Sorte B liefert 2 und Sorte C liefert 1. Die Mischung soll insgesamt 255 Nährstoffeinheiten enthalten. Von Sorte A sollen 5 Liter mehr in der Mischung sein als von Sorte B.

a) Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Mengen x (Sorte A), y (Sorte B) und z (Sorte C) in Litern auf.

b) Bestimmen Sie die Mengen.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Stellen Sie ein Gleichungssystem auf“ verlangt, dass du jeden Satz des Textes in genau eine Gleichung übersetzt. Zählst du am Ende drei Aussagen und drei Unbekannte, ist das Gauß-Verfahren der passende Weg.

Lösungsweg

Teil a)

1. Gesamtmenge: x + y + z = 100 (Gleichung I)
2. Nährstoffe: 4x + 2y + z = 255 (Gleichung II)
3. Mengenunterschied: x - y = 5 (Gleichung III)

Teil b)

1. z eliminieren: II minus I ergibt 3x + y = 155 (Gleichung IV)
2. III und IV addieren: (x - y) + (3x + y) = 5 + 155, also 4x = 160
3. x = 40
4. y aus III: y = x - 5 = 35
5. z aus I: z = 100 - 40 - 35 = 25

Probe in Gleichung II: 4 · 40 + 2 · 35 + 25 = 160 + 70 + 25 = 255. Das passt.

Antwortsatz: Die Mischung besteht aus 40 Litern Sorte A, 35 Litern Sorte B und 25 Litern Sorte C.

Die Probe in einer Gleichung, die du beim Rechnen nicht direkt benutzt hast, fängt die meisten Vorzeichenfehler ab. Hier hast du Gleichung II nur für IV verwendet, nicht für die Rückrechnung von y und z.

Aufgabe 2: Kranbahn und lineare Abhängigkeit

Auch diese Aufgabe ist eigen.

Aufgabe 2. Ein Kran in einer Lagerhalle kann sich nur in Richtung der Vektoren a = (1 | 2 | 0) und b = (0 | 1 | 1) bewegen (Längeneinheit: Meter). Ein Lastenhaken soll zwei Zielpunkte erreichen, die vom Startpunkt aus in Richtung c = (2 | 5 | 1) und d = (1 | 0 | 1) liegen.

a) Zeigen Sie, dass der Haken das Ziel in Richtung c erreichen kann.

b) Untersuchen Sie, ob er auch das Ziel in Richtung d erreichen kann.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Erreichen kann“ heißt: Lässt sich der Vektor aus a und b zusammensetzen? Das ist eine Linearkombination, also die Frage, ob drei Vektoren linear abhängig sind (komplanar liegen).

Lösungsweg

Teil a)

1. Ansatz: c = r · a + s · b, also (2 | 5 | 1) = (r | 2r + s | s)
2. Erste Koordinate: r = 2. Dritte Koordinate: s = 1.
3. Zweite Koordinate prüfen: 2 · 2 + 1 = 5. Das passt.

Antwortsatz: Es gilt c = 2a + b, der Haken erreicht das Ziel mit zwei Einheiten in Richtung a und einer in Richtung b.

Teil b)

1. Ansatz: d = r · a + s · b, also (1 | 0 | 1) = (r | 2r + s | s)
2. Erste Koordinate: r = 1. Dritte Koordinate: s = 1.
3. Zweite Koordinate prüfen: 2 · 1 + 1 = 3, verlangt ist aber 0. Das ist ein Widerspruch.

Antwortsatz: Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d liegt nicht in der Ebene aus a und b. Das Ziel ist mit dieser Bewegung nicht erreichbar.

Beachte den Ablauf: Zwei Gleichungen legen r und s fest, die dritte ist die Kontrolle. Geht sie auf, sind die Vektoren linear abhängig, geht sie nicht auf, nicht.

Matrizen: wo sie vorkommen und wo nicht

Matrizen sind in den Lehrplänen nahezu überall ein Randthema. Pflicht sind Übergangs- und Prozessmatrizen nur in Sachsen, und dort nach unserer Matrix als Einblick-Beispiel. In Bayern gehören sie zum Wahl-Vertiefungskurs, in Berlin zum Zusatzkurs ma-Z7, in Hamburg zum Wahlpflichtmodul 7, in Hessen zu einem Wahl-Themenfeld und in Rheinland-Pfalz zum Wahlpflichtgebiet A1. In Bremen ist die Lage besonders: Der Bildungsplan lässt Lineare Algebra oder Analytische Geometrie als Schwerpunkt zu, und im Zentralabitur 2026 wurden ausschließlich Aufgaben mit Schwerpunkt Analytische Geometrie gestellt.

Lerne Matrizen deshalb nur, wenn dein Lehrplan oder dein Kurs sie ausdrücklich nennt. Wenn ja, reicht für den Einstieg dieses kleine eigene Beispiel.

Beispiel. Ein Fahrradverleih hat zwei Stationen, Nord und Süd. Jeden Tag bleiben 80 % der Räder von Nord dort, die übrigen 20 % wandern nach Süd. Von Süd bleiben 70 % dort, 30 % fahren nach Nord. Die Verteilung (Nord | Süd) wird mit der Matrix M berechnet, deren erste Zeile (0,8 | 0,3) und deren zweite Zeile (0,2 | 0,7) lautet.

1. Start mit (100 | 50): Nord morgen = 0,8 · 100 + 0,3 · 50 = 95, Süd morgen = 0,2 · 100 + 0,7 · 50 = 55.
2. Gleichgewicht gesucht: Die Verteilung (a | b) soll sich nicht mehr ändern, also 0,8a + 0,3b = a. Das ergibt -0,2a + 0,3b = 0.
3. Bei 150 Rädern insgesamt gilt zusätzlich a + b = 150. Aus der ersten Gleichung folgt a = 1,5b, eingesetzt 2,5b = 150, also b = 60 und a = 90.

Probe: 0,8 · 90 + 0,3 · 60 = 72 + 18 = 90 und 0,2 · 90 + 0,7 · 60 = 18 + 42 = 60. Das passt.

Antwortsatz: Im Gleichgewicht stehen 90 Räder in Nord und 60 in Süd.

Das Beispiel zeigt, warum die Gleichungssysteme der wichtigere Baustein sind: Auch das Matrixthema endet beim Lösen eines linearen Gleichungssystems.

Dein nächster Schritt

Prüf zuerst, welche Zeilen der Tabelle in deinem Land gelten. Übe danach das Aufstellen und Lösen von Gleichungssystemen, bis du dabei nicht mehr nachdenken musst, und nutze die Probe als festen Schlusspunkt. Wenn du darauf aufbauen willst, zeigt unser Artikel zu den Vektoren im Abitur, welche Rechnungen in der Geometrie dazukommen. Eigene Aufgaben mit Probe findest du in den Vektorrechnung-Aufgaben mit Lösungsweg.

Wie du die Themen auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht in unserem Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.