Abituraufgaben zur e-Funktion: welche Muster immer wiederkommen und wie du sie löst

Die e-Funktion gilt als schwierig, weil sie fremd aussieht. Rechnerisch ist sie meist gnädiger als eine ganzrationale Funktion: Sie hat keine Nullstellen, sie ist nie negativ, und ihre Ableitung ist sie selbst. Wenn du vier Rechenmuster beherrschst, löst du den größten Teil der Abituraufgaben zur e-Funktion. Das sind Ableiten mit Ketten- und Produktregel, Extrem- und Wendepunkte, Exponentialgleichungen und das Integrieren von e-Termen. Jedes Muster bekommt hier eine eigene Beispielaufgabe mit vollständigem Lösungsweg.

Wo die e-Funktion im großen Bild der Prüfung steht, erklärt unser Überblick über die Themen im Mathe-Abi. Wie eine komplette Analysis-Aufgabe aufgebaut ist, steht im Beitrag Analysis im Mathe-Abi 2027. Hier geht es nur um die e-Funktion selbst. Alle Beispielaufgaben sind eigene Aufgaben mit eigenem Sachkontext, keine amtlichen Prüfungsaufgaben.

Was in allen 16 Ländern gleich ist

Die e-Funktion ist in allen 16 Bundesländern Pflichtthema, und zwar für das grundlegende und das erhöhte Niveau gleichermaßen. Das zeigt unsere Auswertung der amtlichen Lehrpläne, zum Beispiel für den Kernlehrplan Nordrhein-Westfalen. In Mecklenburg-Vorpommern, Sachsen und Sachsen-Anhalt lernst du sie schon in Klasse 10 oder der Einführungsphase kennen, in Hessen ab dem Abschnitt E.4. In den übrigen Ländern steht sie meist in der Qualifikationsphase.

Zwei Dinge sind nicht überall gleich, und beide betreffen die Rechnung. Die ln-Funktion als vollwertige Funktionsklasse ist in elf Ländern nur Stoff des erhöhten Niveaus. Auf grundlegendem Niveau brauchst du den Logarithmus dort trotzdem als Werkzeug, um Exponentialgleichungen zu lösen. Und das Wachstum: Exponentielles Wachstum ist fast überall Pflicht, beschränktes Wachstum dagegen nur in einigen Ländern.

Muster 1: Ableiten mit Kettenregel und Produktregel

Bei e-Funktionen steht im Exponenten fast nie nur x. Steht dort ein Term wie -x/2, brauchst du die Kettenregel: Die Ableitung von e^(g(x)) ist g'(x) mal e^(g(x)). Den Exponenten schreibst du also unverändert ab und multiplizierst mit der Ableitung des Exponenten. Kommt vor dem e-Term noch ein Faktor mit x, kommt die Produktregel dazu.

Eigenes Beispiel: In einem Wasserbecken wird ein Farbstoff gelöst. Seine Konzentration beschreibt c(t) = (t + 2) mal e^(-t/2) in mg/l, t in Stunden seit dem Einfüllen, t >= 0. Berechne c'(t).

1. Bauart benennen: ein Produkt aus u(t) = t + 2 und v(t) = e^(-t/2).
2. Einzelne Ableitungen: u'(t) = 1, v'(t) = (-1/2) mal e^(-t/2) (Kettenregel).
3. Produktregel: c'(t) = 1 mal e^(-t/2) + (t + 2) mal (-1/2) mal e^(-t/2)
4. e^(-t/2) ausklammern: c'(t) = e^(-t/2) mal (1 - (t + 2)/2) = e^(-t/2) mal (-t/2)

Ergebnis: c'(t) = -(t/2) mal e^(-t/2). Am Ende ausklammern lohnt sich fast immer. Der Faktor e^(-t/2) ist nie 0, deshalb entscheidet für die nächsten Schritte allein der Klammerfaktor.

Muster 2: Extrempunkt und Wendepunkt

Bei Extremstellen setzt du die erste Ableitung gleich 0 und prüfst den Vorzeichenwechsel. Weil der e-Faktor nie 0 wird, darf er beim Lösen entfallen. Das spart Rechenarbeit und ist zugleich der Satz, den du als Begründung hinschreibst: „Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist, und e hoch irgendetwas ist nie 0.“

Weiter mit dem Farbstoff-Beispiel:

1. c'(t) = 0 liefert -(t/2) mal e^(-t/2) = 0, also t = 0. Der e-Faktor entfällt.
2. Vorzeichen: Für t > 0 ist c'(t) < 0, die Konzentration sinkt also von Anfang an. Das Maximum liegt am Rand des Definitionsbereichs, c(0) = 2 mg/l.
3. Zweite Ableitung mit der Produktregel: c''(t) = -(1/2) mal e^(-t/2) + (-t/2) mal (-1/2) mal e^(-t/2) = e^(-t/2) mal (t/4 - 1/2)
4. c''(t) = 0 liefert t = 2, und c'' wechselt dort von negativ nach positiv. Es liegt also eine Wendestelle vor.
5. Funktionswert und Steigung: c(2) = 4/e, das sind etwa 1,47 mg/l, und c'(2) = -1/e, das sind etwa -0,37 mg/l je Stunde.

Antwortsatz: Nach zwei Stunden nimmt die Konzentration am stärksten ab, nämlich um etwa 0,37 mg/l je Stunde. Danach verlangsamt sich der Rückgang. Dass die Wendestelle hier die Stelle der stärksten Abnahme ist, liegt am negativen Vorzeichen von c'. Bei Aufgaben im Sachzusammenhang lautet deshalb die Rückfrage immer: Suche ich die größte Zunahme oder die größte Abnahme?

Muster 3: Exponentialgleichung lösen

Eine Gleichung mit e hoch x löst du, indem du die e-Potenz allein auf eine Seite bringst und dann den natürlichen Logarithmus ln auf beide Seiten anwendest. Dabei gilt ln(e^a) = a. Das ist die Rechnung, die auch im grundlegenden Niveau gefordert wird, selbst wenn die ln-Funktion dort nicht als eigene Funktionsklasse behandelt wird.

Eigenes Beispiel: Eine Bakterienkultur wächst nach N(t) = 200 mal e^(0,3 t), t in Stunden. Wann sind es 1000 Bakterien, und wie lange dauert eine Verdopplung?

1. Ansatz: 200 mal e^(0,3 t) = 1000
2. Durch 200 teilen: e^(0,3 t) = 5
3. ln anwenden: 0,3 t = ln(5), also t = ln(5)/0,3, das sind etwa 5,36 Stunden.
4. Verdopplung: e^(0,3 t) = 2 führt auf t = ln(2)/0,3, das sind etwa 2,31 Stunden. Die Verdopplungszeit hängt nicht vom Startwert ab.

Eine zweite Variante sind Gleichungen, in denen e^x in zwei Potenzen vorkommt. Eigenes Beispiel: e^(2x) - 5 mal e^x + 6 = 0.

1. Substitution z = e^x, dann ist e^(2x) = z^2. Die Gleichung lautet z^2 - 5z + 6 = 0.
2. Lösungen: z = 2 oder z = 3.
3. Zurücksetzen: e^x = 2 gibt x = ln(2), etwa 0,69. e^x = 3 gibt x = ln(3), etwa 1,10.
4. Hätte eine Lösung z <= 0 ergeben, wäre sie zu verwerfen, denn e^x ist immer positiv.

Muster 4: Integral und Stammfunktion

Die Stammfunktion von e^(k x) ist (1/k) mal e^(k x). Das prüfst du immer durch Ableiten: Die Kettenregel liefert den Faktor k, der sich mit 1/k wegkürzt. Beim bestimmten Integral setzt du dann die Grenzen ein. Im Sachkontext ist das Integral einer Änderungsrate die Gesamtänderung.

Eigenes Beispiel: In einen Tank fließt Wasser mit der Rate r(t) = 6 mal e^(-0,5 t) in Litern pro Minute, t in Minuten. Wie viel Wasser fließt in den ersten 4 Minuten zu?

1. Stammfunktion: R(t) = -12 mal e^(-0,5 t). Probe: R'(t) = -12 mal (-0,5) mal e^(-0,5 t) = 6 mal e^(-0,5 t). Das stimmt.
2. Grenzen einsetzen: R(4) - R(0) = -12 mal e^(-2) + 12 = 12 mal (1 - e^(-2))
3. Zahlenwert: e^(-2) ist etwa 0,1353, also 12 mal 0,8647, das sind etwa 10,38.

Antwortsatz: In den ersten 4 Minuten fließen etwa 10,4 Liter zu. Läuft t gegen unendlich, geht e^(-0,5 t) gegen 0, und die Gesamtmenge nähert sich 12 Litern. Wird diese Grenzwert-Frage als uneigentliches Integral gestellt, ist das in elf Ländern Pflicht, in zehn davon aber nur auf erhöhtem Niveau. Nur Bayern verlangt es für alle.

Welche Aufgabentypen e-Funktionen enthalten

Im Aufgabentyp-Register unseres Mathe-Abi-Buchs tauchen e-Funktionen in vielen Typen auf. Die Zuordnung ist unsere Einordnung, keine amtliche Klassifikation:

Aufgabentyp	Woran du ihn erkennst	Muster
Extrempunkte und waagrechte Tangenten	„waagrechte Tangente“, „Hochpunkt“	Muster 1 und 2
Wendepunkt nachweisen	„Weisen Sie nach, dass ... Wendepunkt ist“	Muster 2
Wertemenge und Monotonie begründen	„Geben Sie die Wertemenge an und begründen Sie“	Muster 2, Randverhalten
Ableitung im Sachzusammenhang deuten	„interpretieren Sie“	Muster 1 und 2
Grenzwert und Asymptote deuten	ein Grenzwert im Aufgabentext	Randverhalten
Exponentialgleichung durch Kürzen lösen	gleiche e-Funktion zu zwei Zeitpunkten	Muster 3
Integral berechnen und deuten	Integralzeichen mit Grenzen	Muster 4
Stammfunktion bestimmen und nachweisen	„Zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion ist“	Muster 4, Ableiten als Probe

Das Randverhalten gehört zu fast jeder dieser Aufgaben. Für x gegen unendlich geht e^(-x) gegen 0, und auch ein Produkt wie x mal e^(-x) geht gegen 0, weil die e-Funktion schneller fällt, als x wächst. Daraus folgt die waagrechte Asymptote y = 0. Alle Typen im Überblick findest du im Beitrag Aufgabentypen im Mathe-Abi.

Was vom Bundesland abhängt

Der Kern bleibt überall gleich, die Ränder unterscheiden sich. In Niedersachsen wird die Ableitung von Funktionen der Form a^x im Abitur 2026 bis 2028 nicht erwartet. Das ist für die Praxis meist unerheblich, weil Aufgaben fast immer mit der Basis e arbeiten. In Baden-Württemberg ist die Basis e im Basisfach nur zu „beschreiben“. Und die ln-Funktion mit Ableitung, Stammfunktion von 1/x und Umkehrfunktion ist in elf Ländern nur Stoff des erhöhten Niveaus.

Welche Version bei dir gilt, steht im Lehrplan deines Landes und in den Hinweisen deiner Lehrkraft. Lerne zuerst die Muster, die überall vorkommen, und ergänze dann die Teile, die dein Land zusätzlich verlangt.

Häufige Fehler

Der häufigste Fehler ist die vergessene innere Ableitung. Aus e^(-t/2) wird dann e^(-t/2) statt (-1/2) mal e^(-t/2). Prüfe bei jedem e-Term mit Kettenregel kurz, ob der Faktor vor dem e steht.

Der zweite Fehler ist, den e-Faktor beim Nullsetzen mitzuschleppen oder ihn falsch zu behandeln. Er ist nie 0, schreib diesen Satz hin, dann ist die Begründung vollständig. Der dritte Fehler liegt im Sachzusammenhang: Wer das Ergebnis ohne Einheit und ohne Antwortsatz stehen lässt, verschenkt Punkte, obwohl die Rechnung stimmt.

Nächste Schritte

1. Rechne die vier Beispiele oben mit Papier und Stift nach, ohne die Lösung anzusehen.
2. Ersetze in jedem Beispiel die Zahlen und rechne neu. So merkst du, ob du das Muster verstanden hast oder nur das Ergebnis.
3. Weitere Aufgaben mit Lösungsweg findest du in unseren eigenen Beispielaufgaben. Die Rechenwerkzeuge für das Integrieren vertieft der Beitrag zur Integralrechnung im Abitur.
4. Plane die Zeit bis zur Prüfung mit unserem Abi-Lernplan.
5. Wenn du die e-Funktion gezielt festigen willst, findest du bei unserer Mathe-Nachhilfe Unterstützung, online und im Ostalbkreis.