Mathematik Grundlagen für die Oberstufe: Themen und Übungen

Wer in der Oberstufe Punkte verliert, scheitert selten am neuen Stoff, sondern an Rechenwerkzeugen aus der Sekundarstufe I. Dieser Beitrag zeigt, welche Grundlagen du sicher brauchst, und gibt dir zehn eigene Aufgaben zum Testen. Wie die Oberstufe insgesamt aufgebaut ist, erklärt die Übersicht zu Mathe in der Oberstufe.

Warum die Oberstufe auf der Sek I aufbaut

Die Oberstufe führt neue Begriffe ein, etwa Ableitung, Vektor und Normalverteilung. Gerechnet wird dabei aber mit den alten Werkzeugen: Brüche kürzen, Terme umformen, Gleichungen lösen, Funktionsgraphen lesen. Wer dort unsicher ist, braucht für jede Aufgabe länger und macht mehr Flüchtigkeitsfehler.

Welche Themen genau in der Sek I dran waren, unterscheidet sich je nach Bundesland und Schule. Die Liste unten ist deshalb eine Praxisauswahl aus unserer Nachhilfe-Praxis und kein amtlicher Lehrplan. Prüfe bei Zweifeln den Lehrplan deines Landes.

Diese Sek-I-Themen musst du sicher können

Die Tabelle ordnet jedes Thema dem Ort zu, an dem es in der Oberstufe wieder auftaucht.

Nicht jedes Thema hat dasselbe Gewicht. Gleichungen und Terme kommen in jeder Aufgabe vor, Trigonometrie vor allem in der Geometrie.

Der Rechenkern: Brüche, Terme, Gleichungen

Brüche, Terme und Gleichungen bilden den Rechenkern. Du brauchst sie ohne Rechner und ohne langes Nachdenken. Ein Term ist ein Rechenausdruck wie 3x − 5, eine Gleichung setzt zwei Terme gleich.

Achte auf drei Dinge: gleichnamig machen vor dem Addieren, Klammern vollständig auflösen und bei Gleichungen auf beiden Seiten dasselbe tun. Die meisten Fehler entstehen bei den Vorzeichen, vor allem bei einem Minus vor einer Klammer.

Quadratische Gleichungen und die pq-Formel

Quadratische Gleichungen tauchen in der Oberstufe ständig auf, zum Beispiel bei Nullstellen und Extremstellen. Die Normalform lautet x² + px + q = 0. Die pq-Formel liefert beide Lösungen auf einmal.

Vor dem Einsetzen musst du die Gleichung in Normalform bringen, also den Faktor vor x² auf 1 kürzen. Prüfe das Ergebnis immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Funktionen: Gerade und Parabel

Eine Gerade hat die Form y = mx + b, die Steigung m kannst du aus zwei Punkten berechnen. Eine Parabel f(x) = x² + px + q liest du am besten in der Scheitelpunktform ab. Den Scheitelpunkt brauchst du später, um Hoch- und Tiefpunkte schnell zu erkennen.

Die Parabel im Bild folgt aus der Umformung x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3. Daran siehst du ohne Ableitung, dass der tiefste Punkt bei x = 2 liegt.

Geometrie und Wahrscheinlichkeit aus der Sek I

Der Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck kommen in der Vektorrechnung zurück: Abstände und Winkel berechnest du dort mit denselben Ideen. Zur Wahrscheinlichkeit gehören die Pfadregeln am Baumdiagramm. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug.

Prozentrechnung ist dabei das Werkzeug dahinter. Wachstumsfaktor statt Rechnen mit Prozent hilft dir später bei Zinsen und exponentiellem Wachstum.

Zehn eigene Übungsaufgaben

Die Aufgaben sind von uns und für den Selbsttest gedacht. Rechne zuerst alles ohne Lösung. Aufgaben 8 und 9 darfst du mit dem Taschenrechner lösen.

1. Berechne 3/4 + 5/6.
2. Vereinfache (x + 3)² − (x − 3)².
3. Löse 2(x − 4) + 3 = 5x − 11.
4. Löse x² − 5x + 6 = 0.
5. Vereinfache (2³ · 2⁴) / 2⁵ und schreibe √50 in der Form a√2.
6. Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(1 | 3) und B(4 | 9).
7. Bestimme den Scheitelpunkt von f(x) = x² − 4x + 7.
8. Eine 4 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1 m von einer Hauswand entfernt. Wie hoch reicht sie, und welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
9. Ein Pullover kostet nach 15 % Rabatt 68 €. Ein anderer kostet nach 20 % Aufschlag 90 €. Wie hoch waren beide Ausgangspreise?
10. In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln?

Lösungen

1. 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12.
2. (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9) = 12x.
3. 2x − 8 + 3 = 5x − 11, also 2x − 5 = 5x − 11, also 6 = 3x und x = 2.
4. pq-Formel mit p = −5 und q = 6: x = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± 0,5, also x = 2 oder x = 3.
5. Der Bruch ergibt 2⁷ / 2⁵ = 2² = 4. Außerdem gilt √50 = √(25 · 2) = 5√2.
6. Steigung m = (9 − 3) / (4 − 1) = 2, Einsetzen von A ergibt b = 1. Die Gerade lautet y = 2x + 1.
7. Quadratische Ergänzung: f(x) = (x − 2)² + 3, also Scheitelpunkt S(2 | 3).
8. Höhe = √(4² − 1²) = √15 ≈ 3,87 m. Für den Winkel gilt cos α = 1/4, also α ≈ 75,5°.
9. Pullover 1: 68 € / 0,85 = 80 €. Pullover 2: 90 € / 1,2 = 75 €.
10. P = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10, also 30 %.

So findest du deine Lücken

Zähle deine Fehler nach Thema, nicht nach Aufgabe. Zwei Fehler im selben Thema zeigen mehr als zwei Fehler an verschiedenen Stellen. Das folgende Vorgehen stammt aus unserer Nachhilfe-Praxis.

Wiederhole dann zuerst das Thema mit den meisten Fehlern und rechne danach neue Aufgaben dazu. Wie das mit einem Zeitplan bis zum Abitur zusammenpasst, zeigt der Abi-Lernplan.

Nächste Schritte

Rechne die zehn Aufgaben in einem Rutsch und sortiere deine Fehler nach Thema. Wiederhole danach das schwächste Thema mit weiteren Aufgaben, bevor du die nächste Klausur schreibst. Mehr Aufgaben im Oberstufen-Stil findest du in Mathe-Aufgaben für die Oberstufe, und was ein Leistungskurs zusätzlich verlangt, steht im Beitrag zum Mathe-Leistungskurs.

Wenn du dieselben Lücken immer wieder findest, helfen dir unsere Nachhilfelehrer in Mathe. Mehr dazu findest du bei den Nachhilfe-Angeboten von C&C.