Matrizen im Abitur: wo sie noch vorkommen und die drei Rechnungen, die dann reichen

Eine Übergangsmatrix besteht aus Prozentwerten, die in Spalten stehen, und jede Spalte ergibt zusammen 100 %. Mit dieser einen Regel erkennst du Fehler, bevor du das Ergebnis siehst. Ob du Matrizen fürs Abitur überhaupt brauchst, hängt aber zuerst von deinem Bundesland ab.

Diese Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du erfährst, wo Matrizen laut unserer Lehrplan-Matrix (Stand 18.07.2026) vorkommen, welche drei Rechnungen dann reichen und wie du sie an drei eigenen Aufgaben übst. Alle Aufgaben haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen.

Wo Matrizen im Abitur vorkommen

Matrizen sind als Pflichtstoff nahezu ausgestorben. Unsere Matrix stuft Übergangs- und Prozessmatrizen als “selten“ ein. Das gilt für Abbildungsmatrizen ebenfalls.

• Pflicht: Sachsen, in Grund- und Leistungskurs. Dort geht es um Gleichungssysteme in Matrixform, Matrizenmultiplikation und das Gauß-Jordan-Verfahren. Prozess- und Verflechtungsmatrizen kommen dort nur als Einblick-Beispiel vor.
• Wahl oder Alternative: Bayern (Wahl-Vertiefungskurs in Jahrgangsstufe 12, nicht abiturrelevant), Berlin (Zusatzkurs ma-Z7), Bremen (Schwerpunkt Lineare Algebra als Alternative zur analytischen Geometrie), Hamburg (Wahlpflichtmodul 7), Hessen (Wahl-Themenfeld) und Rheinland-Pfalz (Wahlpflichtgebiet A1).
• Abbildungsmatrizen: Pflicht nur in Mecklenburg-Vorpommern und Niedersachsen, jeweils auf erhöhtem Niveau. In Niedersachsen sind sie im Abitur 2026 bis 2028 nicht zu erwarten.
• Nicht enthalten: unter anderem Baden-Württemberg, Nordrhein-Westfalen, Sachsen-Anhalt, Schleswig-Holstein und Thüringen.

Bremen zeigt, was “Alternative“ praktisch heißt: Im Zentralabitur 2026 wurden ausschließlich Aufgaben mit Schwerpunkt analytische Geometrie gestellt. Frag deshalb deine Lehrkraft, ob dein Kurs ein Matrizen-Gebiet behandelt. Wenn nicht, ist die Lernzeit besser bei Vektoren und Gleichungssystemen angelegt, wie sie unser Artikel zur linearen Algebra im Abitur beschreibt.

Die drei Rechnungen, die dann reichen

Das ist unser Praxisablauf, keine amtliche Vorgabe. Mit diesen drei Rechnungen sind die typischen Aufgaben lösbar:

1. Matrix mal Vektor: Du multiplizierst jede Zeile der Matrix mit dem Vektor, Zeile mal Spalte, und addierst die Produkte. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor, zum Beispiel die Verteilung nach einem Schritt.
2. Matrix mal Matrix: Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten kannst du nur mit einer Matrix multiplizieren, die n Zeilen hat. Das Ergebnis hat m Zeilen. Die Reihenfolge darfst du nicht vertauschen.
3. Gleichungssystem in Matrixform: Die Koeffizienten stehen links, die rechte Seite steht daneben. Du löst mit dem Gauß-Verfahren durch Zeilenumformungen.

Bei Übergangsmatrizen kommt eine Kontrolle dazu: Jede Spalte muss die Summe 1 haben, wenn die Spalte beschreibt, wohin ein Zustand übergeht. Dann stimmt auch die Gesamtzahl nach jedem Schritt.

Aufgabe 1: Pausenstände und die Übergangsmatrix

Aufgabe 1. An einer Schule gibt es zwei Pausenstände, Nord und Süd. 150 Schülerinnen und Schüler wählen jede Woche genau einen davon. Von den Kunden des Stands Nord bleiben 80 % in der Folgewoche dort, 20 % wechseln zu Süd. Von den Kunden des Stands Süd bleiben 60 % dort, 40 % wechseln zu Nord. In Woche 0 haben Nord 90 und Süd 60 Kunden.

a) Stellen Sie die Übergangsmatrix auf.

b) Bestimmen Sie die Verteilung nach einer und nach zwei Wochen.

c) Bestimmen Sie die Verteilung, die sich von einer Woche zur nächsten nicht mehr ändert.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Jede Woche“, Prozentangaben zum Wechseln und eine feste Gesamtzahl sind die Signale. “Verteilung, die sich nicht mehr ändert“ heißt stationäre Verteilung.

Lösungsweg

Teil a)

Die Spalten beschreiben den Ausgangsstand, die Zeilen den Zielstand. Die Matrix M hat die Zeilen (0,8 | 0,4) und (0,2 | 0,6). Spaltensummen: 0,8 + 0,2 = 1 und 0,4 + 0,6 = 1. Das passt.

Teil b)

1. Startvektor: v0 = (90 | 60), als Spalte geschrieben.
2. Nord nach einer Woche: 0,8 · 90 + 0,4 · 60 = 72 + 24 = 96
3. Süd nach einer Woche: 0,2 · 90 + 0,6 · 60 = 18 + 36 = 54
4. Nord nach zwei Wochen: 0,8 · 96 + 0,4 · 54 = 76,8 + 21,6 = 98,4
5. Süd nach zwei Wochen: 0,2 · 96 + 0,6 · 54 = 19,2 + 32,4 = 51,6

Antwortsatz: Nach einer Woche haben Nord 96 und Süd 54 Kunden, nach zwei Wochen im Mittel etwa 98,4 und 51,6. Die Summe ist jeweils 150.

Teil c)

1. Bedingung: M · v = v mit v = (x | y) und x + y = 150
2. Erste Zeile: 0,8x + 0,4y = x, also 0,4y = 0,2x und damit x = 2y
3. Mit x + y = 150 folgt 3y = 150, also y = 50 und x = 100.
4. Probe: 0,8 · 100 + 0,4 · 50 = 100 und 0,2 · 100 + 0,6 · 50 = 50

Antwortsatz: Bei 100 Kunden in Nord und 50 in Süd bleibt die Verteilung gleich. Die zweite Zeile liefert dieselbe Gleichung wie die erste, deshalb brauchst du die Gesamtzahl 150.

Aufgabe 2: Bäckerei und die Matrixmultiplikation

Aufgabe 2. Eine Bäckerei stellt aus Mehl und Hefe zwei Teigsorten her und daraus zwei Produkte. Für eine Einheit Teig 1 braucht sie 2 kg Mehl und 10 g Hefe, für eine Einheit Teig 2 braucht sie 1 kg Mehl und 20 g Hefe. Ein Brot benötigt 3 Einheiten Teig 1. Ein Brötchenpaket benötigt 1 Einheit Teig 1 und 2 Einheiten Teig 2.

a) Stellen Sie die Matrizen A (Rohstoffe je Teigsorte) und B (Teigeinheiten je Produkt) auf.

b) Berechnen Sie die Matrix C = A · B und deuten Sie ihre Einträge.

c) Es werden 10 Brote und 20 Brötchenpakete bestellt. Wie viel Mehl und Hefe wird gebraucht?

So erkennst du den Aufgabentyp

Zwei Stufen hintereinander (Rohstoff, Zwischenprodukt, Endprodukt) sind das Signal für ein Matrizenprodukt. “Deuten Sie“ verlangt, dass du die Bedeutung von Zeile und Spalte nennst.

Lösungsweg

Teil a)

Die Matrix A hat die Zeilen (2 | 1) für Mehl in kg und (10 | 20) für Hefe in g. Ihre Spalten sind Teig 1 und Teig 2. Die Matrix B hat die Zeilen (3 | 1) für Teig 1 und (0 | 2) für Teig 2. Ihre Spalten sind Brot und Brötchenpaket.

Teil b)

1. Mehl für ein Brot: 2 · 3 + 1 · 0 = 6
2. Mehl für ein Brötchenpaket: 2 · 1 + 1 · 2 = 4
3. Hefe für ein Brot: 10 · 3 + 20 · 0 = 30
4. Hefe für ein Brötchenpaket: 10 · 1 + 20 · 2 = 50

C hat die Zeilen (6 | 4) und (30 | 50).

Antwortsatz: Ein Brot braucht 6 kg Mehl und 30 g Hefe, ein Brötchenpaket 4 kg Mehl und 50 g Hefe.

Teil c)

1. Mehl: 6 · 10 + 4 · 20 = 60 + 80 = 140
2. Hefe: 30 · 10 + 50 · 20 = 300 + 1000 = 1300

Antwortsatz: Für die Bestellung braucht die Bäckerei 140 kg Mehl und 1300 g Hefe.

Warum die Reihenfolge zählt: B · A hat die Zeilen (16 | 23) und (20 | 40) und ist damit eine andere Matrix. Sie hätte außerdem keine Bedeutung im Sachkontext, weil dort die Spalten von B (Produkte) auf die Zeilen von A (Rohstoffe) träfen.

Aufgabe 3: Gleichungssystem in Matrixform

Aufgabe 3. Am Kiosk kosten 2 Brezeln und 1 Saft zusammen 5 Euro. 1 Brezel und 3 Säfte kosten zusammen ebenfalls 5 Euro. Bestimmen Sie den Preis einer Brezel und den eines Safts mit dem Gauß-Verfahren.

Lösungsweg

1. Gleichungen: 2x + y = 5 und x + 3y = 5, mit x als Preis der Brezel und y als Preis des Safts.
2. Matrixform: Zeile I (2 | 1 | 5), Zeile II (1 | 3 | 5)
3. Zeilen tauschen: Zeile I (1 | 3 | 5), Zeile II (2 | 1 | 5)
4. II minus 2 · I: Zeile II (0 | -5 | -5)
5. Aus der zweiten Zeile folgt y = 1. Aus der ersten Zeile folgt x = 5 - 3 · 1 = 2.
6. Probe: 2 · 2 + 1 = 5 und 2 + 3 · 1 = 5

Antwortsatz: Eine Brezel kostet 2 Euro und ein Saft 1 Euro.

Wo Punkte verloren gehen

Bei Matrizenaufgaben fehlen oft dieselben drei Dinge. Die erste Stelle ist die Bedeutung von Zeilen und Spalten: Wer nicht aufschreibt, was eine Spalte ist, vertauscht Von und Nach und rechnet mit der falschen Matrix. Die zweite ist die Dimensionsprüfung vor jeder Multiplikation. Die dritte ist die Spaltensumme: Bei einer Übergangsmatrix zeigt sie dir in einer Zeile, ob die Matrix stimmt.

Wie du die Vektor- und Gleichungssystem-Aufgaben übst, auf denen Matrizen aufbauen, zeigt unser Artikel zu Vektorrechnung-Aufgaben fürs Abi.

Dein nächster Schritt

Klär zuerst, ob dein Kurs ein Matrizen-Gebiet behandelt. Wenn ja, schreib die drei Rechnungen auf eine Karte und rechne die Aufgaben dieser Seite noch einmal mit anderen Zahlen. Wie du die Übungseinheiten auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht in unserem Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.