Vektoren im Abitur: welche Rechnungen du beherrschen musst und wo sie dran kommen

Für die Vektoraufgaben im Abitur brauchst du fünf Rechnungen: Länge eines Vektors, Skalarprodukt, Geradengleichung, Ebenengleichung und Abstand eines Punkts von einer Ebene. Vektorrechnung und Skalarprodukt sind in jedem Bundesland Pflicht, Geraden und Ebenen in 14 Ländern. Nur das Kreuzprodukt als Hilfsmittel für die Ebenengleichung hängt stark vom Land ab. Dieser Beitrag zeigt dir jedes Werkzeug mit einem eigenen Rechenbeispiel und sagt dir, welche Aufgabentypen dahinterstecken.

Wo Vektoren in das große Bild der Mathe-Prüfung passen, erklärt unser Überblick über die Themen im Mathe-Abi. Hier geht es nur um die Vektorrechnung selbst. Wie eine komplette Geometrie-Aufgabe aufgebaut ist, steht im Beitrag Analytische Geometrie im Abitur.

Was in allen 16 Ländern gleich ist

Die Vektorrechnung im Raum ist das einzige Geometrie-Thema, das in allen 16 Ländern für beide Anforderungsniveaus verbindlich ist. Auch Skalarprodukt, Winkel und Orthogonalität stehen in allen 16 Ländern im Lehrplan. Das zeigt unsere Auswertung der amtlichen Lehrpläne, zum Beispiel für den bayerischen LehrplanPLUS und den Kernlehrplan Nordrhein-Westfalen.

Geraden und Ebenen sind in 14 Ländern Pflicht. In Hamburg und Rheinland-Pfalz hängt es von der Wahl der Module bzw. Wahlpflichtgebiete ab. Wann du mit Vektoren beginnst, ist unterschiedlich: In Baden-Württemberg, Nordrhein-Westfalen, Sachsen-Anhalt und Schleswig-Holstein startet die Vektorrechnung früher, in den übrigen zwölf Ländern erst in der Qualifikationsphase.

Werkzeug 1: Vektor zwischen zwei Punkten und Betrag

Der Vektor von A nach B entsteht, indem du die Koordinaten von A von denen von B abziehst. Der Betrag dieses Vektors ist die Länge der Strecke AB. Mit zwei Punkten A(2|1|3) und B(5|5|3) gilt:

1. Vektor AB = (5 - 2 | 5 - 1 | 3 - 3) = (3 | 4 | 0)
2. Betrag |AB| = Wurzel(3^2 + 4^2 + 0^2) = Wurzel(25) = 5

Antwortsatz: Die Strecke AB ist 5 Längeneinheiten lang. Dieses Werkzeug steckt in jeder Aufgabe, die nach Seitenlängen, Umfang oder Höhen fragt, und es ist die Grundlage für alle weiteren Rechnungen.

Werkzeug 2: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren multiplizierst du koordinatenweise und addierst die Ergebnisse. Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, sofern keiner der beiden der Nullvektor ist. Mit dem Skalarprodukt prüfst du rechte Winkel und berechnest Winkel über den Zusammenhang cos(Winkel) = Skalarprodukt / (Betrag a mal Betrag b).

Eigenes Beispiel: Gegeben sind A(2|1|3), B(5|5|3) und C(-2|4|3). Ist das Dreieck bei A rechtwinklig?

1. Beide Vektoren vom Scheitel A aus: AB = (3 | 4 | 0), AC = (-4 | 3 | 0)
2. Skalarprodukt: 3 mal (-4) + 4 mal 3 + 0 mal 0 = -12 + 12 + 0 = 0
3. Keiner der Vektoren ist der Nullvektor.

Antwortsatz: Das Skalarprodukt ist 0, also steht AB senkrecht auf AC, und das Dreieck hat bei A einen rechten Winkel. Mit |AB| = 5 und |AC| = 5 ist die Fläche 1/2 mal 5 mal 5 = 12,5 Flächeneinheiten.

Werkzeug 3: Geradengleichung und Schnittpunkt

Eine Gerade durch einen Punkt P mit Richtungsvektor v schreibst du als X = P + t mal v. Der Parameter t läuft durch alle reellen Zahlen, und jeder Wert von t liefert einen Punkt der Geraden. Soll die Gerade durch zwei Punkte gehen, nimmst du den ersten als Stützpunkt und den Verbindungsvektor als Richtung.

Ob zwei Geraden sich schneiden, prüfst du, indem du die Koordinaten gleichsetzt und nach den beiden Parametern auflöst. Passt der gefundene Wert auch in die dritte Gleichung, schneiden sie sich. Passt er nicht, sind die Geraden windschief oder parallel, je nachdem, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Werkzeug 4: Ebenengleichung mit und ohne Kreuzprodukt

Die Koordinatenform einer Ebene lautet ax + by + cz = d. Der Vektor (a | b | c) ist ein Normalenvektor, er steht senkrecht auf der Ebene. Um eine Ebene aus drei Punkten aufzustellen, brauchst du genau diesen Normalenvektor und danach einen Punkt zum Einsetzen.

Eigenes Beispiel: Die Ebene soll durch A(1|0|0), B(0|2|0) und C(0|0|3) gehen.

1. Spannvektoren: AB = (-1 | 2 | 0), AC = (-1 | 0 | 3)
2. Kreuzprodukt: (2 mal 3 - 0 mal 0 | 0 mal (-1) - (-1) mal 3 | (-1) mal 0 - 2 mal (-1)) = (6 | 3 | 2)
3. Ansatz: 6x + 3y + 2z = d. Einsetzen von A liefert d = 6.
4. Probe mit B: 6 mal 0 + 3 mal 2 + 0 = 6. Probe mit C: 0 + 0 + 2 mal 3 = 6.

Antwortsatz: Die Ebene hat die Gleichung 6x + 3y + 2z = 6.

Wenn das Kreuzprodukt bei dir nicht im Lehrplan steht, kommst du auch ohne es zum Normalenvektor. Du suchst einen Vektor n = (n1 | n2 | n3), der auf beiden Spannvektoren senkrecht steht. Das Skalarprodukt mit AB ergibt -n1 + 2 n2 = 0, das mit AC ergibt -n1 + 3 n3 = 0. Wählst du n3 = 2, folgt n1 = 6 und n2 = 3. Du erhältst wieder (6 | 3 | 2). Dieser Weg dauert etwas länger, funktioniert aber mit dem Skalarprodukt, das du ohnehin beherrschst.

Werkzeug 5: Abstand Punkt-Ebene und Schnittpunkt Gerade-Ebene

Den Abstand eines Punkts von einer Ebene berechnest du mit der Hesseschen Normalenform. Du teilst den Ebenenterm durch den Betrag des Normalenvektors, setzt den Punkt ein und nimmst den Betrag. Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene findest du, indem du die Koordinaten des Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt und nach dem Parameter auflöst.

Eigenes Beispiel: Ein Laserstrahl startet in P(1|1|0) mit der Richtung (2 | 1 | 2) und trifft die Wand E: 2x + y + 2z = 12.

1. Strahl: X = (1 | 1 | 0) + t mal (2 | 1 | 2), also x = 1 + 2t, y = 1 + t, z = 2t
2. Einsetzen in E: 2 mal (1 + 2t) + (1 + t) + 2 mal 2t = 3 + 9t = 12
3. Damit gilt t = 1 und der Auftreffpunkt ist S(3 | 2 | 2). Der Parameter ist positiv, der Strahl trifft die Wand also in Strahlrichtung.
4. Abstand von P zur Wand: |2 mal 1 + 1 + 0 - 12| / Wurzel(2^2 + 1^2 + 2^2) = 9 / 3 = 3

Antwortsatz: Der Strahl trifft die Wand in S(3 | 2 | 2), und P ist 3 Längeneinheiten von der Wand entfernt. Die Probe stimmt: Die Richtung (2 | 1 | 2) ist ein Vielfaches des Normalenvektors, der Strahl steht also senkrecht auf der Wand, und sein Weg von P bis S hat die Länge |(2 | 1 | 2)| = 3.

Welche Aufgabentypen welches Werkzeug brauchen

In unserem Aufgabentyp-Register für die Geometrie kommen die fünf Werkzeuge immer wieder in denselben Kombinationen vor. Die Zuordnung ist unsere Einordnung, keine amtliche Klassifikation:

Aufgabentyp	Woran du ihn erkennst	Werkzeug
Fehlenden Eckpunkt bestimmen	“Koordinaten des Punkts D“, Rechteck oder Parallelogramm	Vektor zwischen Punkten
Ebenengleichung aufstellen	“Koordinatengleichung der Ebene“	Normalenvektor, Einsetzen
Abstand Punkt-Ebene	“Abstand“, “hat von E den Abstand“	Hessesche Normalform
Lage Gerade-Ebene	“steht senkrecht“, “liegt in E“	Skalarprodukt, Punktprobe
Winkel berechnen	“Winkel“, “Neigungswinkel“	Skalarprodukt und Beträge
Rechten Winkel nachweisen	“rechtwinklig“	Skalarprodukt gleich 0
Längen, Flächen, Volumen	“Volumen der Pyramide“	Betrag
Schnittpunkt Gerade-Ebene	“trifft“, “Auftreffpunkt“	Einsetzen, Parameter lösen

Wer die fünf Werkzeuge sicher beherrscht, hat damit den Rechenteil dieser acht Aufgabentypen abgedeckt. Zu jedem Typ gibt es bei uns weitere Hilfen im Beitrag Aufgabentypen im Mathe-Abi.

Was vom Bundesland abhängt

Das Kreuzprodukt ist der größte Länder-Split in der Geometrie. Es ist Pflicht in Baden-Württemberg, Bayern, Bremen, dem Saarland, Sachsen, Sachsen-Anhalt, Schleswig-Holstein und Thüringen, dort auch im Grundkurs bzw. auf grundlegendem Niveau. In Hessen und Mecklenburg-Vorpommern gehört es nur zum erhöhten Niveau. In Berlin, Brandenburg, Hamburg, Niedersachsen und Nordrhein-Westfalen steht es nicht im Lehrplan, in Rheinland-Pfalz ist es ein Wahlthema.

Beim Abstand Punkt-Ebene gilt: Das Thema ist in 14 Ländern Pflicht, die Hessesche Normalform als Verfahren ist aber klar eA-lastig. Abstände von Punkt und Gerade sowie von windschiefen Geraden sind in 11 Ländern nur im erhöhten Niveau gefordert. Wenn du auf grundlegendem Niveau lernst, kannst du diese Abstände meist zurückstellen. Welche Version in deinem Bundesland dran ist, siehst du im Lehrplan deines Landes oder bei deiner Lehrkraft.

Häufige Fehler

Drei Fehler tauchen bei Vektoraufgaben immer wieder auf. Der erste betrifft den Winkel: Bei einem Winkel in einem Punkt müssen beide Vektoren von diesem Punkt ausgehen. Zeigt einer hin und der andere weg, bekommst du den Nebenwinkel. Bei Ebenen nimmst du außerdem den Betrag des Skalarprodukts, sonst kommt ebenfalls der Nebenwinkel heraus.

Der zweite Fehler betrifft den Parameter. Nach dem Auflösen von t prüfst du, ob er im zulässigen Bereich liegt, etwa zwischen 0 und 1 für eine Strecke. Der dritte Fehler: Wer den Nachweis “steht senkrecht“ nur behauptet, verschenkt Punkte. Schreib das Skalarprodukt hin, zeig, dass es 0 ist, und halte fest, dass keiner der Vektoren der Nullvektor ist.

Nächste Schritte

1. Rechne die drei Beispiele oben mit Papier und Stift nach, ohne die Lösung anzusehen.
2. Prüfe im Lehrplan deines Landes, ob das Kreuzprodukt dazugehört, und wähle den passenden Weg zur Ebenengleichung.
3. Übe die acht Aufgabentypen aus der Tabelle mit eigenen Zahlen. Drei weitere Aufgaben mit Lösungsweg findest du in unseren eigenen Beispielaufgaben.
4. Plane die Zeit bis zur Prüfung mit unserem Abi-Lernplan.
5. Wenn du in der Geometrie gezielt Punkte sichern willst, findest du bei unserer Mathe-Nachhilfe Unterstützung, online und im Ostalbkreis.