Kurvendiskussion im Abitur: welche Schritte musst du aufschreiben?

Im Abitur steht fast nie die Aufforderung „Führen Sie eine Kurvendiskussion durch“. Stattdessen fragt die Aufgabe nach einzelnen Bausteinen: Nullstellen, Hochpunkt, Wendepunkt, Symmetrie. Wer die Bausteine kennt und weiß, was bei jedem aufgeschrieben werden muss, braucht keine starre Schablone. Welche Analysis-Themen sonst dran sind, ordnet die Übersicht zu den Mathe-Abi-Themen ein.

Die Bausteine und was du jeweils aufschreibst

Im Aufgabentyp-Register unseres Mathe-Abi-Buchs gibt es 23 Analysis-Typen. Fünf davon sind die Bausteine einer Kurvendiskussion. Das ist unsere Ordnung, keine amtliche Einteilung.

Die Beispielfunktion durchgerechnet

Die Funktion f(x) = x³ − 6x² + 9x ist eine eigene Aufgabe mit einfachen Zahlen. Du kannst jeden Schritt im Kopf oder auf Papier nachrechnen.

Ableitungen. f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12 und f‴(x) = 6.

Nullstellen. Du klammerst x aus: f(x) = x · (x² − 6x + 9) = x · (x − 3)². Das Produkt ist null, wenn x = 0 oder x = 3 gilt. Bei x = 3 steht der Faktor im Quadrat, der Graph berührt dort die x-Achse nur.

Symmetrie. Es genügt ein Gegenbeispiel: f(1) = 4, aber f(−1) = −16. Weder f(−1) = f(1) noch f(−1) = −f(1) stimmt, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Grenzverhalten. Für x gegen ∞ wächst f gegen ∞, für x gegen −∞ fällt f gegen −∞. Die Wertemenge ist daher ganz ℝ.

Extrempunkte. f′(x) = 0 führt zu 3 · (x − 1) · (x − 3) = 0, also x = 1 oder x = 3. Dann prüfst du mit f″: f″(1) = −6 < 0, also Hochpunkt mit f(1) = 4. f″(3) = 6 > 0, also Tiefpunkt mit f(3) = 0.

Wendepunkt. f″(x) = 0 ergibt x = 2. Wegen f‴(2) = 6 ≠ 0 liegt dort ein Wendepunkt, und f(2) = 2 liefert W(2 | 2). Die Steigung im Wendepunkt ist f′(2) = −3.

Aus dem Graphen liest du die Monotonie ab: f steigt für x ≤ 1 und für x ≥ 3 und fällt für 1 ≤ x ≤ 3.

Was die Prüfer sehen wollen

Die Rechnung allein bringt oft nur einen Teil der Punkte. Die Begründung zählt mit.

• Hinreichende Bedingung nennen. f′(x) = 0 zeigt nur einen Kandidaten. Erst f″(x) ≠ 0 oder ein Vorzeichenwechsel von f′ macht daraus einen Extrempunkt.
• y-Wert berechnen. Gefragt ist ein Punkt, also reicht die x-Stelle nicht.
• Doppelte Nullstelle erkennen. Steht ein Faktor im Quadrat, berührt der Graph die Achse und schneidet sie nicht.
• Antwortsatz schreiben. „Der Graph hat bei x = 1 einen Hochpunkt H(1 | 4)“ ist ein vollständiges Ergebnis.

Drei eigene Aufgaben zum Üben

Alle Aufgaben sind eigene Beispiele, keine amtlichen Abituraufgaben. Rechne zuerst allein.

Aufgabe 1: Symmetrie, Nullstellen und Extrempunkte

Untersuche g(x) = x⁴ − 8x² auf Symmetrie, Nullstellen und Extrempunkte.

1. Symmetrie: g(−x) = (−x)⁴ − 8 · (−x)² = x⁴ − 8x² = g(x). Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
2. Nullstellen: x² · (x² − 8) = 0 ergibt x = 0 (doppelt) und x = ±2√2.
3. Extrempunkte: g′(x) = 4x³ − 16x = 4x · (x² − 4) = 0 ergibt x = 0 oder x = ±2.
4. Prüfung: g″(x) = 12x² − 16. Wegen g″(0) = −16 < 0 ist (0 | 0) ein Hochpunkt. Wegen g″(±2) = 32 > 0 sind (−2 | −16) und (2 | −16) Tiefpunkte.

Aufgabe 2: Wendepunkt nachweisen

Weise nach, dass h(x) = x³ − 3x² + 4x einen Wendepunkt hat, und gib die Wendetangente an.

1. h′(x) = 3x² − 6x + 4, h″(x) = 6x − 6, h‴(x) = 6.
2. h″(x) = 0 ergibt x = 1. Wegen h‴(1) = 6 ≠ 0 liegt dort ein Wendepunkt, und h(1) = 2 liefert W(1 | 2).
3. Steigung: h′(1) = 3 − 6 + 4 = 1. Die Wendetangente ist t(x) = x + 1.

Antwortsatz: Der Graph von h hat im Punkt W(1 | 2) einen Wendepunkt, die Wendetangente ist t(x) = x + 1.

Aufgabe 3: Die Ableitung im Sachzusammenhang

Ein Becken wird gefüllt und wieder geleert. Der Wasserstand in Dezimetern nach t Stunden ist w(t) = −t³ + 6t² für 0 ≤ t ≤ 6. Bestimme, wann der Wasserstand am höchsten ist und wann er am schnellsten steigt.

1. Ableitungen: w′(t) = −3t² + 12t = −3t · (t − 4), w″(t) = −6t + 12 und w‴(t) = −6.
2. Höchster Stand: w′(t) = 0 ergibt t = 0 oder t = 4. Wegen w″(4) = −12 < 0 liegt bei t = 4 ein Hochpunkt, und w(4) = 32.
3. Randwerte: w(0) = 0 und w(6) = 0, der Wert 32 ist also der größte.
4. Schnellster Anstieg: Die Steigung w′ ist am größten, wo w″(t) = 0 gilt, also bei t = 2. Wegen w‴(2) = −6 < 0 ist das ein Maximum von w′, und w′(2) = 12.

Antwortsatz: Der Wasserstand ist nach 4 Stunden mit 32 dm am höchsten. Am schnellsten steigt er nach 2 Stunden, mit 12 dm pro Stunde.

Was in deinem Land dran ist

Nach der Lehrplan-Matrix von C&C, unserer Auswertung der amtlichen Lehrpläne (Stand 18.07.2026), sind Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen und Wendepunkte in allen 16 Ländern Pflicht, für beide Niveaus. Die Unterschiede liegen im Detail:

Dein eigener Lehrplan und die Vorgaben deiner Schule gehen vor. Fragen zu Extremwerten mit Nebenbedingung behandelt der Beitrag zu den Extremwertaufgaben im Abitur, die Aufgabentypen der Analysis insgesamt der Beitrag zu den Analysis-Abituraufgaben.

Häufige Fragen

Muss ich im Abitur alle Schritte der Kurvendiskussion zeigen? Nur die, die die Teilaufgabe verlangt. Das Signalwort bestimmt den Baustein, und bei einem Nachweis gehört die Begründung dazu.

Reicht f″(x) = 0 für einen Wendepunkt? Nein. Du brauchst zusätzlich f‴(x) ≠ 0 oder einen Vorzeichenwechsel von f″. Ohne diese Bedingung ist die Stelle nur ein Kandidat.

Wie übe ich Kurvendiskussion am besten? Rechne jeden Baustein an zwei bis drei Funktionen und löse danach eine komplette Aufgabe unter Zeit. Einen Rahmen für die Wochen bis zur Prüfung bietet der Abi-Lernplan. Die e-Funktion gehört dazu: Ihre Rechenregeln stehen im Beitrag zur e-Funktion im Abitur.

Dein nächster Schritt

Nimm eine ganzrationale Funktion aus deinem Material und rechne die fünf Bausteine einmal komplett durch. Schreibe bei jedem Baustein die Begründung auf, die in der Prüfung bepunktet wird.