Geometrie-Aufgaben im Abitur: an diesen Signalwörtern erkennst du den Aufgabentyp

Woran erkennst du in einer Geometrie-Aufgabe, was eigentlich gerechnet werden soll? Meistens an ein oder zwei Wörtern im Aufgabentext. “Abstand“, “Winkel“, “trifft“ und “senkrecht“ sagen dir, welche Rechnung dran ist, noch bevor du den ersten Vektor aufschreibst. Wer diese Signalwörter kennt, verliert in der Prüfung keine Zeit mit dem Suchen nach einem Ansatz.

Diese Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du bekommst 14 Aufgabentypen der Geometrie aus dem Aufgabentyp-Register unseres Mathe-Abi-Buchs, jeweils mit Signalwort und erstem Schritt. Danach rechnest du zwei eigene Aufgaben durch, die mehrere dieser Typen verbinden. Die Aufgaben haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen. Amtliche Aufgaben drucken wir nicht ab.

Die Aufgabentypen der Geometrie auf einen Blick

Die Einteilung in Typen ist unsere eigene Praxiseinordnung, keine amtliche Klassifikation. Sie hilft dir, Aufgaben schneller zu lesen. Welche Themen in deinem Bundesland überhaupt geprüft werden, entscheidet der Lehrplan: Vektoren im Raum sind in allen 16 Ländern Pflicht, Geraden und Ebenen in 14, und in Hamburg und Rheinland-Pfalz ist die analytische Geometrie ein Wahlthema. Eine Übersicht dazu findest du in unserem Artikel Analytische Geometrie im Abitur.

Wir sortieren die 14 Typen in vier Familien.

Punkte und Figuren

Aufgabentyp	So erkennst du ihn	Erster Schritt
Fehlenden Eckpunkt bestimmen	“Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D“, dazu Rechteck, Parallelogramm oder Trapez	Die Figureneigenschaft als Vektorgleichung schreiben und nach dem gesuchten Ortsvektor auflösen
Punkt mit Abstandsbedingung	“Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts, der ... Abstand hat“	Die Bedingung geometrisch übersetzen, etwa in eine Parallelebene
Kreis im Raum	Ein Punkt wird um eine Achse gedreht, “auf einem Kreis“	Beim Drehen bleibt der Punkt in der Ebene senkrecht zur Achse

Ebenen und Lage

Aufgabentyp	So erkennst du ihn	Erster Schritt
Ebenengleichung aufstellen	“Koordinatengleichung der Ebene“, drei Punkte oder zwei Richtungen gegeben	Zwei Spannvektoren bilden, Normalenvektor bestimmen, Punkt einsetzen
Lagebeziehung Gerade und Ebene	“Begründen Sie, dass g senkrecht zu E steht“, “liegt in E“	Richtungsvektor der Gerade mit dem Normalenvektor der Ebene vergleichen
Schnittpunkt Gerade und Ebene	“Schnittpunkt“, “trifft“, “Auftreffpunkt“	Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter auflösen
Schar untersuchen	Gleichung mit Parameter und “für jeden Wert von k“	Die Behauptung mit k als Buchstaben prüfen, nicht mit Beispielwerten

Abstände, Winkel und Maße

Aufgabentyp	So erkennst du ihn	Erster Schritt
Abstand Punkt und Ebene	“Abstand“, “hat von E den Abstand“	Hessesche Normalform ansetzen, Punkt einsetzen, Betrag nehmen
Winkel	“Winkel“, “Neigungswinkel gegen den Boden“	Die beiden richtigen Vektoren wählen und über das Skalarprodukt rechnen
Rechter Winkel	“rechtwinklig“, “Begründen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist“	Beide Vektoren vom Scheitel aus aufstellen und das Skalarprodukt null zeigen
Länge, Fläche, Volumen	“Volumen der Pyramide“, “Flächeninhalt“, “passt vollständig auf“	Seitenlängen als Beträge von Vektoren, Höhe als Abstand

Argumentieren

Aufgabentyp	So erkennst du ihn	Erster Schritt
Aussage im Sachzusammenhang beurteilen	“Beurteilen Sie“, “Zeigen Sie, dass ... zutrifft“	Die Aussage in eine rechenbare Bedingung übersetzen und beide Größen nebeneinander stellen
Symmetrie prüfen	“Geben Sie diejenige Gleichung an, die eine Symmetrieebene beschreibt“	Erst prüfen, ob Spitze und Grundflächenmittelpunkt in der Ebene liegen
Gleichungssystem deuten	“Erläutern Sie die Überlegungen, die den Gleichungen I, II und III zugrunde liegen“	Jede Gleichung einzeln lesen und benennen, nicht rechnen

Die Hessesche Normalform für den Abstand gehört in manchen Ländern nur zum erhöhten Niveau. In anderen Ländern rechnest du denselben Abstand über das Lotfußpunktverfahren. Frag deine Lehrkraft, welches Verfahren in deinem Kurs verlangt wird.

Ein häufiger Fehler liegt bei den Operatoren. Bei “beurteilen“ bekommt die Rechnung ohne den ausformulierten Satz nicht die volle Punktzahl. Das IQB beschreibt in seinem Grundstock von Operatoren Mathematik, dass ein Urteil zu begründen ist. Mehr dazu in unserem Artikel zu den Operatoren im Mathe-Abi.

Aufgabe 1: Ein Gewächshausdach mit vier Fragen

Diese Aufgabe verbindet vier Typen: Ebene aufstellen, Schnittpunkt, Abstand und Winkel.

Aufgabe 1. Die Dachfläche eines Gewächshauses liegt in einer Ebene E. Sie geht durch die Punkte A(0|0|2), B(6|0|2) und C(0|4|4). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Der Boden ist die x-y-Ebene.

a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.

b) Ein Sonnenstrahl verläuft entlang der Geraden g: X = (2|0|7) + t * (1|1|-2). Berechnen Sie den Punkt, in dem er die Dachfläche trifft.

c) Eine Lampe hängt im Punkt Q(2|1|6). Berechnen Sie ihren Abstand von der Dachfläche.

d) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Dachfläche gegen den Boden.

Lösungsweg

Teil a) Ebene aufstellen

1. Spannvektoren: AB = (6|0|0) und AC = (0|4|2)
2. Normalenvektor über das Kreuzprodukt: (0|-12|24). Gekürzt ergibt das n = (0|-1|2).
3. Ansatz: -y + 2z = d. Einsetzen von A(0|0|2) ergibt d = 4.
4. Probe mit B: 0 + 4 = 4. Probe mit C: -4 + 8 = 4. Beide stimmen.

Antwortsatz: E hat die Koordinatengleichung -y + 2z = 4.

Teil b) Schnittpunkt

1. Koordinaten des Strahls: x = 2 + t, y = t, z = 7 - 2t
2. In E einsetzen: -t + 2 * (7 - 2t) = 4
3. Auflösen: 14 - 5t = 4, also t = 2
4. Punkt: S(4|2|3)

Antwortsatz: Der Sonnenstrahl trifft die Dachfläche im Punkt S(4|2|3). Der Punkt liegt über dem Grundriss des Daches (x zwischen 0 und 6, y zwischen 0 und 4), das Ergebnis ist also sinnvoll.

Teil c) Abstand

1. Hessesche Normalform: d = |-y + 2z - 4| / Wurzel(1 + 4)
2. Q einsetzen: |-1 + 12 - 4| = 7
3. Abstand: 7 / Wurzel(5), das sind etwa 3,13

Antwortsatz: Die Lampe hat von der Dachfläche einen Abstand von etwa 3,13 m.

Teil d) Winkel

1. Normalenvektor des Bodens: (0|0|1)
2. Der Winkel zwischen den Ebenen ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren. cos(Winkel) = |2| / (Wurzel(5) * 1) = 2 / Wurzel(5)
3. Winkel: etwa 26,6 Grad

Antwortsatz: Die Dachfläche ist um etwa 26,6 Grad gegen den Boden geneigt. Zur Kontrolle: Auf 4 m Tiefe steigt das Dach um 2 m, tan(Winkel) = 1/2.

Aufgabe 2: Eine rechteckige Werbetafel

Diese Aufgabe verbindet vier Typen: fehlenden Punkt, rechter Winkel, Fläche und Beurteilen.

Aufgabe 2. Eine Werbetafel hat die Eckpunkte A(2|1|0), B(6|1|0), C(6|5|3) und D. Die Tafel ist ein Parallelogramm ABCD. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten von D.

b) Zeigen Sie, dass die Tafel bei B einen rechten Winkel hat.

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Tafel.

d) Der Hersteller liefert Folie für 18 m^2. Beurteilen Sie, ob die Folie für eine Seite der Tafel ausreicht.

Lösungsweg

Teil a) fehlender Eckpunkt

1. Im Parallelogramm gilt AD = BC.
2. BC = (0|4|3)
3. D = A + BC = (2|5|3)

Antwortsatz: D hat die Koordinaten (2|5|3).

Teil b) rechter Winkel

1. Vektoren vom Scheitel B aus: BA = (-4|0|0) und BC = (0|4|3)
2. Skalarprodukt: (-4) mal 0 + 0 mal 4 + 0 mal 3 = 0
3. Keiner der beiden Vektoren ist der Nullvektor.

Antwortsatz: Das Skalarprodukt ist null, also stehen BA und BC senkrecht aufeinander. Die Tafel hat bei B einen rechten Winkel und ist damit ein Rechteck.

Teil c) Fläche

1. Seitenlängen: |BA| = 4 und |BC| = Wurzel(16 + 9) = 5
2. Rechteckfläche: 4 * 5 = 20

Antwortsatz: Die Tafel hat einen Flächeninhalt von 20 m^2.

Teil d) beurteilen

Das Urteil lautet: Nein, die Folie reicht nicht. Die Begründung steht in einem Satz: Die Tafel braucht 20 m^2, die Folie hat nur 18 m^2, es fehlen also 2 m^2.

Dein nächster Schritt

Nimm dir drei Geometrie-Aufgaben aus deinem Kurs oder aus einer Aufgabensammlung und lege neben jede das Signalwort, den Aufgabentyp und deinen ersten Schritt. Löse danach die Aufgabe und prüfe, ob dein erster Schritt gepasst hat. Wenn dir das bei einer Familie, zum Beispiel bei den Ebenen, nicht gelingt, lohnt sich ein genauer Blick auf unseren Artikel zu Vektoren im Abitur. Wie du solche Übungseinheiten auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht im Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe. Wenn du Unterstützung beim Üben willst, findest du sie bei unserer Mathe-Nachhilfe.