Abituraufgaben zur Normalverteilung: Standardisieren, Sigma-Regeln und drei eigene Aufgaben

Etwa 68,3 % aller Werte einer normalverteilten Größe liegen höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt. Bei 95,4 % sind es zwei Standardabweichungen. Mit diesen beiden Zahlen löst du schon einen großen Teil der Normalverteilungsaufgaben, bevor du den Rechner anfasst.

Die Seite gehört zu unserer Übersicht, welche Themen im Mathe-Abi drankommen. Du erfährst, in welchen Kursen die Normalverteilung gefragt ist, wie du eine solche Aufgabe in vier Schritten löst und wie du das an drei eigenen Aufgaben übst. Die Aufgaben haben wir selbst geschrieben, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen.

Wo die Normalverteilung im Abitur vorkommt

Die Normalverteilung ist laut unserer Lehrplan-Matrix (Stand 18.07.2026) in allen 16 Ländern Pflicht. Meistens gilt das aber nur für das erhöhte Niveau, also den Leistungskurs. Auch im Grundkurs behandeln sie nur Baden-Württemberg und Bayern. In Baden-Württemberg ist es dort das Basisfach ohne Analysis-Bezug, es geht um die Glockenkurve und die Kenngrößen.

Fragt dein Kurs die Normalverteilung ab, steht dir meist ein Rechnerwerkzeug zur Verfügung. In Hessen werden zum Beispiel im Leistungskurs laut Abiturerlass 2027 Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsgrößen mit WTR oder CAS bestimmt, Tabellen zur Stochastik werden nicht mehr mitgeschickt. Frag bei deinem Land nach, was für dich gilt.

Der Ablauf in vier Schritten

Das ist unser Praxisablauf, keine amtliche Vorgabe. Er passt auf die meisten Aufgaben, in denen “normalverteilt“ oder eine glockenförmige Dichtefunktion steht.

1. Kenngrößen festhalten: Erwartungswert mu und Standardabweichung sigma aus dem Text oder der Dichtefunktion ablesen.
2. Ereignis als Intervall schreiben: “höchstens“ wird zu X <= a, “mindestens“ zu X >= a, “zwischen“ zu a <= X <= b.
3. Standardisieren: Du rechnest z = (x - mu)/sigma und schlägst den Wert in der Standardnormalverteilung nach, oder du gibst mu, sigma und die Grenzen direkt in den Rechner ein.
4. Antwortsatz mit Einheit und Sachbezug schreiben.

Bei “mindestens“ nutzt du das Gegenereignis: P(X >= a) = 1 - P(X < a). Bei einer stetigen Größe ist P(X = a) gleich 0, deshalb macht es keinen Unterschied, ob < oder <= steht.

Die Sigma-Regeln sparen dir Rechenzeit: Etwa 68,3 % der Werte liegen im Bereich mu ± sigma, 95,4 % im Bereich mu ± 2 sigma und 99,7 % im Bereich mu ± 3 sigma. Ob du sie in deinem Kurs ohne Herleitung nutzen darfst, klärst du mit deiner Lehrkraft.

Aufgabe 1: Füllmenge einer Getränkeabfüllung

Aufgabe 1. Eine Anlage füllt Flaschen mit Saft. Die Füllmenge X in Milliliter ist normalverteilt mit mu = 500 und sigma = 4.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche zwischen 496 ml und 504 ml enthält.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche weniger als 492 ml enthält.

So erkennst du den Aufgabentyp

“Normalverteilt mit mu und sigma“ und ein Intervall als Frage sind die Signale. Liegen die Grenzen genau bei mu ± sigma oder mu ± 2 sigma, sind es die Sigma-Regeln.

Lösungsweg

Teil a)

1. Grenzen: 496 = 500 - 4 und 504 = 500 + 4, also mu - sigma und mu + sigma.
2. Nach der Sigma-Regel gilt P(496 <= X <= 504) = 0,683.

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68,3 % enthält eine Flasche zwischen 496 ml und 504 ml.

Teil b)

1. Standardisieren: z = (492 - 500)/4 = -2
2. Symmetrie: P(X < 492) = P(Z < -2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Antwortsatz: Etwa 2,3 % der Flaschen enthalten weniger als 492 ml.

Aufgabe 2: Dichtefunktion ablesen

Aufgabe 2. Die Fahrzeit X in Minuten zwischen zwei Haltestellen wird durch die Dichtefunktion f(x) = 1/(3 · Wurzel(2π)) · e^(-(x - 20)^2/18) beschrieben.

a) Geben Sie Erwartungswert und Standardabweichung an.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Fahrt länger als 26 Minuten dauert.

c) Deuten Sie den Wert P(17 <= X <= 23) = 0,683 im Sachzusammenhang.

Lösungsweg

Teil a)

1. Die allgemeine Form lautet f(x) = 1/(sigma · Wurzel(2π)) · e^(-(x - mu)^2/(2 sigma^2)).
2. Vergleich: Im Faktor vor der e-Funktion steht 3, also ist sigma = 3. Im Exponenten steht x - 20, also ist mu = 20. Probe: 2 sigma^2 = 18 passt zum Nenner 18.

Antwortsatz: Der Erwartungswert beträgt 20 Minuten, die Standardabweichung 3 Minuten.

Teil b)

1. Standardisieren: z = (26 - 20)/3 = 2
2. Gegenereignis: P(X > 26) = 1 - P(Z <= 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2,3 % dauert die Fahrt länger als 26 Minuten.

Teil c)

Die Grenzen 17 und 23 liegen genau eine Standardabweichung neben dem Erwartungswert. Deutung: Etwa 68,3 % der Fahrten dauern zwischen 17 und 23 Minuten. Etwa jede dritte Fahrt liegt außerhalb dieses Bereichs.

Aufgabe 3: Unbekannte Standardabweichung

Aufgabe 3. Die Masse X einer Paketsorte in Gramm ist normalverteilt mit mu = 250 und unbekanntem sigma. Es gilt P(X <= 240) = 0,1587.

a) Bestimmen Sie sigma.

b) Berechnen Sie die Masse, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % nicht überschritten wird.

So erkennst du den Aufgabentyp

Die Wahrscheinlichkeit ist gegeben und eine Größe ist gesucht. Das ist die umgekehrte Fragestellung, und sie führt über die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung.

Lösungsweg

Teil a)

1. Die Wahrscheinlichkeit 0,1587 gehört zu z = -1, denn P(Z <= 1) = 0,8413 und 1 - 0,8413 = 0,1587.
2. Standardisieren: (240 - 250)/sigma = -1
3. Auflösen: sigma = 10

Antwortsatz: Die Standardabweichung beträgt 10 Gramm. Probe: 240 liegt eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert.

Teil b)

1. Für P(Z <= z) = 0,95 gilt z = 1,645.
2. Umstellen: x = mu + z · sigma = 250 + 1,645 · 10 = 266,45

Antwortsatz: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % wiegt ein Paket höchstens etwa 266,5 Gramm.

Wo Punkte verloren gehen

Bei diesen Aufgaben fehlen oft dieselben Dinge:

• Die Standardabweichung wird mit der Varianz verwechselt. In der Dichtefunktion steht im Exponenten 2 sigma^2, nicht 2 sigma.
• Bei “mindestens“ wird das Gegenereignis vergessen, und es steht P(Z <= z) statt 1 - P(Z <= z).
• Der Antwortsatz fehlt. Ein Wert wie 0,0228 braucht die Aussage “etwa 2,3 % der Flaschen“.

Die Wörter am Anfang der Teilaufgabe entscheiden, wie viel du aufschreibst. Das erklärt unser Artikel zu den Operatoren im Mathe-Abi. Wenn du die Binomialverteilung auffrischen willst, auf der die Normalverteilung aufbaut, passen unsere Stochastik-Aufgaben fürs Abi mit Lösungen. Der nächste Schritt danach ist der Hypothesentest im Abitur.

Dein nächster Schritt

Rechne Aufgabe 1 bis 3 noch einmal mit anderen Zahlen, zum Beispiel mu = 80 und sigma = 5. Schreib dir danach auf, welche Signalwörter dich zum Ablauf geführt haben. Wie du solche Übungseinheiten auf die Wochen bis zur Prüfung verteilst, steht in unserem Abi-Lernplan. Der Plan ist unser Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe.