Abi-Trainer Mathe: drei Aufgabentypen als Probetraining

Ein Abi-Trainer für Mathe unterscheidet sich von einer Aufgabensammlung in einem Punkt: Er bringt dir bei, eine Aufgabe zu erkennen, bevor du rechnest. Wie das aussieht, probierst du am besten an drei Beispielen selbst aus, je eines aus Analysis, Stochastik und Geometrie. Wann im Plan welches Training sinnvoll ist, zeigt der Abi-Lernplan mit 12, 6 und 2 Wochen.

Was ein Trainer anders macht

Eine Aufgabensammlung gibt dir Aufgaben und am Ende Ergebnisse. Ein Trainer gibt dir ein Muster, das du auf neue Aufgaben überträgst. Der Gewinn liegt im Wiedererkennen: Du liest „Geben Sie den Definitionsbereich an“ und weißt, was zu tun ist.

Zu jedem Typ gehören bei uns vier Bausteine. Erkennen heißt: an welchen Signalwörtern und welchem Term siehst du den Typ? Vorgehen sind drei bis fünf feste Schritte. Dazu kommt eine Beispielaufgabe mit vollständigem Weg und eine Gegenprobe, mit der du dein Ergebnis selbst prüfst.

Die folgenden Aufgaben sind von uns erfunden, mit eigenem Sachkontext und eigenen Zahlen. Es sind keine amtlichen Abituraufgaben.

Typ 1 aus der Analysis: Definitionsbereich bestimmen

Erkennen. Die Aufgabe verlangt den Definitionsbereich, und im Term steht ein Bruch, eine Wurzel oder ein Logarithmus.

Vorgehen. Prüfe jede kritische Stelle des Terms einzeln und notiere die Bedingungen als Ungleichungen. Bilde danach die Schnittmenge und nenne ausgeschlossene Stellen einzeln.

Aufgabe. Bestimme den Definitionsbereich von f(x) = √(x − 2) / (x² − 9).

1. Wurzel: x − 2 ≥ 0, also x ≥ 2.
2. Bruch: x² − 9 ≠ 0, also x ≠ 3 und x ≠ −3.
3. Schnittmenge: x ≥ 2 enthält −3 gar nicht, aber 3. Also bleibt nur x = 3 ausgeschlossen.

Antwortsatz: Der Definitionsbereich ist D = {x ∈ ℝ | x ≥ 2 und x ≠ 3}.

Gegenprobe. Setze x = 3 ein: Der Nenner wird 0, die Stelle ist also zu Recht ausgeschlossen. Setze x = 2 ein: Der Zähler wird 0, der Nenner −5, die Stelle gehört dazu.

Typ 2 aus der Stochastik: Binomialverteilung mit „mindestens“

Erkennen. n gleiche Versuche mit fester Wahrscheinlichkeit, dazu die Wörter „genau“, „höchstens“ oder „mindestens“.

Vorgehen. Benenne zuerst n und p, bevor du rechnest. „Genau k“ rechnest du mit der Formel, „höchstens k“ mit der kumulierten Tabelle. „Mindestens“ rechnest du immer über das Gegenereignis.

Aufgabe. Ein Lieferant verschickt Fahrradklingeln, 8 % davon sind defekt. Du ziehst 20 Klingeln. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens eine defekt ist, und wie wahrscheinlich sind genau zwei defekte?

1. Festlegen: X = Anzahl defekter Klingeln, X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,08.
2. Mindestens eine: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,92²⁰ ≈ 1 − 0,1887 = 0,8113.
3. Genau zwei: P(X = 2) = (20 über 2) · 0,08² · 0,92¹⁸ = 190 · 0,0064 · 0,2229 ≈ 0,271.

Antwortsatz: Mit etwa 81,1 % ist mindestens eine Klingel defekt, mit etwa 27,1 % sind es genau zwei.

Gegenprobe. P(X = 0) und P(X ≥ 1) müssen sich zu 1 ergänzen: 0,1887 + 0,8113 = 1. Außerdem muss P(X = 2) kleiner sein als P(X ≥ 1).

Typ 3 aus der Geometrie: fehlenden Eckpunkt bestimmen

Erkennen. „Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D“, dazu ein Rechteck, Parallelogramm oder Trapez.

Vorgehen. Schreibe die Figureigenschaft als Vektorgleichung. Löse nach dem gesuchten Ortsvektor auf und rechne mit einer zweiten Eigenschaft gegen.

Aufgabe. Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit A(1 | 2 | 0), B(5 | 3 | 1) und C(6 | 6 | 3). Bestimme D.

1. Eigenschaft: Im Parallelogramm gilt AD = BC, also D = A + BC.
2. Vektor: BC = (6 − 5 | 6 − 3 | 3 − 1) = (1 | 3 | 2).
3. Einsetzen: D = (1 + 1 | 2 + 3 | 0 + 2) = (2 | 5 | 2).

Antwortsatz: Der Punkt D hat die Koordinaten (2 | 5 | 2).

Gegenprobe. Bei einem Parallelogramm gilt auch AB = DC. Es ist AB = (4 | 1 | 1) und DC = (6 − 2 | 6 − 5 | 3 − 2) = (4 | 1 | 1). Beide Vektoren sind gleich.

Woran du einen guten Trainer erkennst

Nimm einen beliebigen Trainer und schlage einen Aufgabentyp auf. Findest du dort alle vier Bausteine, also Erkennen, Vorgehen, Beispiel und Gegenprobe? Dann übt er dich in Mustern. Fehlt das Erkennen, übst du nur Rechnen, und gerade das Erkennen entscheidet in der Prüfung über den ersten Ansatz.

Ob ein Übungsbuch zum Aufbau deiner Prüfung passt, prüfst du mit dem Buch-Check für das Mathe-Abi. Welche Buchtypen in welche Planphase gehören, steht im Beitrag zum Mathe-Abi-Buch. Wer in Bayern lernt, findet das neue Prüfungsformat im Beitrag zum Abi-Trainer für Bayern.

Die vollständige Typenübersicht mit weiteren Beispielen steht in den Aufgabentypen im Mathe-Abi.

So nutzt du das Probetraining in einer Woche

Verteile die drei Typen auf drei Tage und gib dir pro Typ etwa 30 Minuten. Das ist ein Praxisvorschlag, keine amtliche Vorgabe. Am ersten Tag liest du nur Erkennen und Vorgehen und deckst Beispiel und Gegenprobe ab. Danach rechnest du die Aufgabe selbst und vergleichst erst am Ende mit dem Weg oben.

Am siebten Tag wiederholst du den Typ, bei dem du am meisten Zeit gebraucht hast, mit eigenen Zahlen. Ändere dazu in der Aufgabe oben den Prozentsatz, die Koordinaten oder den Term. Wenn dir das gelingt, hast du das Muster verstanden und nicht nur die Aufgabe gemerkt.

Nächste Schritte

Rechne die drei Aufgaben oben einmal ohne Hilfe und prüfe jeweils mit der Gegenprobe. Notiere, bei welchem Baustein du hängst: Erkennen, Vorgehen oder Rechnen. Wenn du dafür Begleitung willst, hilft dir bei C&C die Mathe-Nachhilfe online und im Ostalbkreis.

Quellen

• Aufgabentyp-Register des C&C-Mathe-Abi-Buchs (eigene Typologie, keine amtliche Klassifikation)